Equazioni di secondo grado
La scatola di un videogioco ha la base quadrata di area $144\ \text{cm}^2$. Quanto misura il lato? Cerchi un numero $x$ tale che $x^2 = 144$: è un'equazione di secondo grado, perché l'incognita compare elevata al quadrato. Queste equazioni possono avere due soluzioni, una sola oppure nessuna, e c'è una formula che le risolve tutte.
Forma normale
Graficamente, $y = ax^2 + bx + c$ è una parabola e le soluzioni dell'equazione sono le ascisse dei punti in cui la parabola interseca l'asse $x$ (risoluzione grafica). Muovi $a$, $b$, $c$ e osserva quante intersezioni ci sono:
Per ciascuna delle seguenti equazioni di secondo grado, individua i coefficienti $a$, $b$ e $c$ e indica se si tratta di un'equazione completa o incompleta: a)…
Per ciascuna delle seguenti equazioni di secondo grado, individua i coefficienti $a$, $b$ e $c$ e indica se si tratta di un'equazione completa o incompleta:
- a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 8x = 0$
- d) $3 - x^2 + 2x = 0$
Verifica, senza risolvere l'equazione, se i valori di $x$ proposti sono soluzione dell'uguaglianza $x^2 - 4x + 3 = 0$: a) $x = 1$ b) $x = 0$ c) $x = 3$ d) $x = -1$
Verifica, senza risolvere l'equazione, se i valori di $x$ proposti sono soluzione dell'uguaglianza $x^2 - 4x + 3 = 0$:
- a) $x = 1$
- b) $x = 0$
- c) $x = 3$
- d) $x = -1$
Equazioni pure e spurie
Le equazioni incomplete si risolvono senza formula, e più in fretta.
Se $b = c = 0$ l'equazione è monomia: $ax^2 = 0$ ha come unica soluzione (coincidente) $x = 0$.
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete del tipo $ax^2 + c = 0$. Ricorda che se il risultato della radice quadrata non è un numero reale, devi…
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete del tipo $ax^2 + c = 0$. Ricorda che se il risultato della radice quadrata non è un numero reale, devi indicarlo:
- a) $x^2 - 25 = 0$
- b) $3x^2 - 12 = 0$
- c) $x^2 + 16 = 0$
- d) $2x^2 = 50$
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante raccoglimento a fattor comune: a) $x^2 - 7x = 0$ b) $2x^2 + 10x = 0$ c)…
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante raccoglimento a fattor comune:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $2x^2 + 10x = 0$
- c) $3x^2 = 6x$
- d) $x^2 + x = 0$
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete utilizzando il metodo più rapido (raccoglimento a fattor comune o isolamento diretto della radice): a)…
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete utilizzando il metodo più rapido (raccoglimento a fattor comune o isolamento diretto della radice):
- a) $4x^2 - 100 = 0$
- b) $3x^2 + 15x = 0$
- c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
- d) $5x^2 = 2x$
La formula risolutiva
Per un'equazione completa $ax^2 + bx + c = 0$:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Il segno $\pm$ dà due soluzioni: una sommando la radice, l'altra sottraendola.
Perché funziona? Con il completamento del quadrato: moltiplica per $4a$ e aggiungi $b^2$ a entrambi i membri, ottenendo $4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$, cioè $(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac$. Da qui $2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac}$ e, isolando $x$, la formula.
Prima di applicare la formula devi spesso semplificare: sviluppa i prodotti notevoli, riduci i termini simili e porta tutto a forma normale.
Se l'incognita compare nei denominatori (equazione fratta), scrivi prima le condizioni di esistenza (C.E.): i denominatori devono essere diversi da zero. Poi riduci allo stesso denominatore con il m.c.m., elimina i denominatori e risolvi. Scarta le soluzioni che non rispettano le C.E.
Applica la formula risolutiva $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ per trovare le soluzioni delle seguenti equazioni complete: a) $x^2 - 6x + 8 = 0$ b)…
Applica la formula risolutiva $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ per trovare le soluzioni delle seguenti equazioni complete:
- a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
- b) $x^2 + x - 12 = 0$
Risolvi la seguente equazione di secondo grado semplificando prima le espressioni algebriche mediante lo sviluppo dei prodotti notevoli: $$(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = -5$$…
Risolvi la seguente equazione di secondo grado semplificando prima le espressioni algebriche mediante lo sviluppo dei prodotti notevoli:
$$(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = -5$$Ricorda che per applicare la formula risolutiva, devi prima ridurre l'equazione alla forma $ax^2 + bx + c = 0$.
Risolvi la seguente equazione svolgendo prima i calcoli per semplificare i membri e utilizzando i prodotti notevoli dove necessario:…
Risolvi la seguente equazione svolgendo prima i calcoli per semplificare i membri e utilizzando i prodotti notevoli dove necessario:
$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$
Risolvi la seguente equazione. Per farlo, cerca il minimo comune multiplo dei denominatori per eliminare le incognite dai denominatori stessi e verifica che le soluzioni…
Risolvi la seguente equazione. Per farlo, cerca il minimo comune multiplo dei denominatori per eliminare le incognite dai denominatori stessi e verifica che le soluzioni ottenute non annullino alcun denominatore:
$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$
Il discriminante
La quantità sotto radice, $\Delta = b^2 - 4ac$, si chiama discriminante e dice quante soluzioni ci sono senza risolvere.
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Soluzioni |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Due soluzioni reali distinte |
| $\Delta = 0$ | Due soluzioni coincidenti: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Impossibile in $\mathbb{R}$ (radice di un numero negativo) |
Calcola il valore del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ per ciascuna equazione e indica se ha due soluzioni, una soluzione doppia o nessuna soluzione reale (non è…
Calcola il valore del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ per ciascuna equazione e indica se ha due soluzioni, una soluzione doppia o nessuna soluzione reale (non è necessario calcolare le soluzioni):
- a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
- b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x - 1 = 0$
Studia il discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) delle seguenti equazioni e determina, senza risolverle, quante soluzioni reali ha ciascuna. Giustifica la tua risposta in…
Studia il discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) delle seguenti equazioni e determina, senza risolverle, quante soluzioni reali ha ciascuna. Giustifica la tua risposta in ogni caso:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$
Quale valore dovrebbe assumere il termine noto nell'equazione a) perché non abbia più soluzioni?
Data l'equazione di secondo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina quali valori deve assumere il parametro $k$ affinché l'equazione abbia un'unica soluzione reale…
Data l'equazione di secondo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina quali valori deve assumere il parametro $k$ affinché l'equazione abbia un'unica soluzione reale (soluzione doppia).
Equazioni biquadratiche
In $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ compaiono solo $x^4$ e $x^2$. Si pone $t = x^2$ (con $t \geq 0$), così $x^4 = t^2$.
Una biquadratica ha da 0 a 4 soluzioni reali, a seconda dei segni delle soluzioni in $t$.
La stessa sostituzione funziona con le equazioni trinomie $ax^{2n} + bx^n + c = 0$ (si pone $t = x^n$) e le binomie $x^n = k$. Per esempio $x^4 = 16$ dà $x = \pm 2$, mentre $x^4 = -16$ è impossibile in $\mathbb{R}$; $x^3 = 8$ dà $x = 2$ (indice dispari: una sola soluzione).
Le equazioni biquadratiche si possono risolvere con un cambio di variabile $t = x^2$. Usa questa tecnica per trovare le quattro soluzioni reali della seguente equazione:…
Le equazioni biquadratiche si possono risolvere con un cambio di variabile $t = x^2$. Usa questa tecnica per trovare le quattro soluzioni reali della seguente equazione:
$$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$$Problemi di secondo grado
Imposta il problema con un'incognita, scrivi l'equazione, risolvila e poi verifica l'accettabilità delle soluzioni: una lunghezza non può essere negativa, un numero di persone non può avere decimali…
Se al quadrato di un numero intero sommiamo il suo triplo, otteniamo come risultato zero. Di quali numeri potrebbe trattarsi? Imposta l'equazione e trova le possibili…
Se al quadrato di un numero intero sommiamo il suo triplo, otteniamo come risultato zero. Di quali numeri potrebbe trattarsi? Imposta l'equazione e trova le possibili soluzioni.
Il prodotto di due numeri naturali consecutivi è uguale alla loro somma aumentata di $19$ unità. Di quali numeri stiamo parlando?
Il prodotto di due numeri naturali consecutivi è uguale alla loro somma aumentata di $19$ unità. Di quali numeri stiamo parlando?
Vogliamo collocare una cornice di legno di larghezza costante $x$ attorno a una fotografia rettangolare di $10\text{ cm}$ per $15\text{ cm}$. Se sappiamo che l'area…
Vogliamo collocare una cornice di legno di larghezza costante $x$ attorno a una fotografia rettangolare di $10\text{ cm}$ per $15\text{ cm}$. Se sappiamo che l'area totale (foto più cornice) deve essere di $300\text{ cm}^2$, qual è la larghezza $x$ della cornice?
Un'impresa di progettazione paesaggistica vuole circondare una piscina rettangolare di $8 \text{ m}$ di lunghezza per $6 \text{ m}$ di larghezza con un bordo di prato…
Un'impresa di progettazione paesaggistica vuole circondare una piscina rettangolare di $8 \text{ m}$ di lunghezza per $6 \text{ m}$ di larghezza con un bordo di prato sintetico di larghezza uniforme $x$. Se l'area totale del recinto (piscina più bordo di prato) deve essere esattamente di $80 \text{ m}^2$, calcola quanto deve misurare la larghezza $x$ del bordo.
Due stampanti 3D che lavorano insieme impiegano $2$ ore per completare un modellino complesso. Se lavorassero separatamente, la stampante più vecchia impiegherebbe $3$…
Due stampanti 3D che lavorano insieme impiegano $2$ ore per completare un modellino complesso. Se lavorassero separatamente, la stampante più vecchia impiegherebbe $3$ ore in più della stampante nuova. Quanto tempo impiegherebbe ciascuna a realizzare il modellino da sola? (Suggerimento: ricorda che il lavoro svolto in un'ora è l'inverso del tempo totale).
Calcola le dimensioni di un triangolo rettangolo sapendo che i suoi lati sono tre numeri interi consecutivi.
Calcola le dimensioni di un triangolo rettangolo sapendo che i suoi lati sono tre numeri interi consecutivi.
Torniamo all'inizio: per la scatola del videogioco, $x^2 = 144 \Rightarrow x = \pm 12$; poiché un lato non può essere negativo, la base ha lato $12\ \text{cm}$.