Fasci propri e impropri di rette
Un'antenna è montata sul tetto di un edificio e deve inviare un segnale in linea retta verso una torre. Per il punto in cui si trova l'antenna passano infinite rette: una per ogni direzione possibile. Come si scrive l'equazione di tutte queste rette in un colpo solo? E come si sceglie quella giusta? Alla fine della pagina troverai la risposta.
Il fascio proprio: rette per un punto
Fissa un punto $C(x_0; y_0)$ e disegna tutte le rette che passano per $C$. Le rette cambiano inclinazione, ma hanno un punto in comune.
Per scrivere l'equazione usiamo la retta per un punto con coefficiente angolare $m$ assegnato:
$$y - y_0 = m(x - x_0)$$Al variare del parametro $m \in \mathbb{R}$ otteniamo tutte le rette per $C$. Ogni valore di $m$ dà una retta diversa, e tutte passano per $C$ perché $x = x_0$, $y = y_0$ rendono vera l'equazione qualunque sia $m$.
Prova a muovere il parametro: le rette ruotano attorno al centro $C(2; 1)$.
Dato il fascio proprio di rette di equazione $y - 2 = m(x - 3)$, con $m \in \mathbb{R}$: a) individua le coordinate del centro del fascio; b) scrivi l'equazione della…
Dato il fascio proprio di rette di equazione $y - 2 = m(x - 3)$, con $m \in \mathbb{R}$:
- a) individua le coordinate del centro del fascio;
- b) scrivi l'equazione della retta del fascio corrispondente a $m = 2$.
Scrivi l'equazione del fascio proprio di rette con centro nel punto $C(-1; 4)$, escludendo la retta verticale. Trova poi la retta del fascio con coefficiente angolare…
Scrivi l'equazione del fascio proprio di rette con centro nel punto $C(-1; 4)$, escludendo la retta verticale. Trova poi la retta del fascio con coefficiente angolare $m = -\frac{1}{2}$.
Il fascio improprio: rette parallele
Ci sono altre famiglie di rette: quelle che hanno tutte la stessa direzione, cioè lo stesso coefficiente angolare.
Se la direzione ha coefficiente angolare $m_0$, l'equazione del fascio è
$$y = m_0 x + q, \qquad q \in \mathbb{R}$$Qui il parametro è l'intercetta $q$: le rette sono traslate l'una rispetto all'altra. Il fascio improprio delle rette parallele all'asse $y$ ha equazione $x = k$, con $k \in \mathbb{R}$.
Scrivi l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta $y = -3x + 1$ e determina la retta del fascio che passa per il punto $P(2; 5)$.
Scrivi l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta $y = -3x + 1$ e determina la retta del fascio che passa per il punto $P(2; 5)$.
Fascio generato da due rette
Spesso il fascio è dato in forma implicita, con il parametro $k$ che compare nei coefficienti. Ecco il caso tipico:
$$(k+1)x + (k-1)y - 3k - 1 = 0$$Raccogliamo $k$: tutti i termini con $k$ da una parte, gli altri dall'altra.
$$k(x + y - 3) + (x - y - 1) = 0$$Questa è una combinazione lineare di due rette: $r: x - y - 1 = 0$ e $s: x + y - 3 = 0$.
Il perché è semplice. Se $(x_0; y_0)$ appartiene sia a $r$ sia a $s$, entrambe le parentesi si annullano e l'equazione è verificata per ogni $k$. Quindi tutte le rette passano per il punto comune.
Per trovare il centro, basta risolvere il sistema formato dalle due generatrici.
Soluzione dell'ultimo passo: il coefficiente di $x$ è $k + 1$ e si annulla per $k = -1$, che dà $-2y + 2 = 0$, cioè $y = 1$. Il coefficiente di $y$ è $k - 1$ e si annulla per $k = 1$, che dà $2x - 4 = 0$, cioè $x = 2$.
Per riconoscere se un fascio è proprio o improprio puoi usare questo criterio. Scrivi il fascio come $ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0$ e guarda le generatrici. Se i coefficienti di $x$ e $y$ sono proporzionali, cioè $\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'}$, le rette sono parallele e il fascio è improprio. Altrimenti è proprio.
Considera il fascio di rette $(k+1)x + (k-2)y + 3 - k = 0$, con $k \in \mathbb{R}$. a) Scrivi l'equazione come combinazione lineare di due rette generatrici. b)…
Considera il fascio di rette $(k+1)x + (k-2)y + 3 - k = 0$, con $k \in \mathbb{R}$.
- a) Scrivi l'equazione come combinazione lineare di due rette generatrici.
- b) Determina il centro del fascio.
- c) Trova la retta del fascio che passa per l'origine.
Nel piano cartesiano è dato il fascio di rette di equazione $(2k-1)x + (k+3)y - 4k + 2 = 0$. a) Determina per quale valore di $k$ la retta è parallela all'asse $x$. b)…
Nel piano cartesiano è dato il fascio di rette di equazione $(2k-1)x + (k+3)y - 4k + 2 = 0$.
- a) Determina per quale valore di $k$ la retta è parallela all'asse $x$.
- b) Determina per quale valore di $k$ la retta è parallela alla retta $y = x$.
- c) Stabilisci se il fascio è proprio o improprio.
Date le rette $r: x - 2y + 1 = 0$ e $s: 2x + y - 7 = 0$, considera il fascio da esse generato. a) Determina il centro del fascio. b) Trova la retta del fascio che ha…
Date le rette $r: x - 2y + 1 = 0$ e $s: 2x + y - 7 = 0$, considera il fascio da esse generato.
- a) Determina il centro del fascio.
- b) Trova la retta del fascio che ha distanza massima dall'origine e giustifica la risposta.
- c) Trova la retta del fascio che passa per il punto $P(0; 5)$.
Scegliere la retta giusta del fascio
Il fascio contiene infinite rette. Per sceglierne una serve una condizione in più, che si traduce in un'equazione nel parametro. Ecco le condizioni più frequenti.
| Condizione | Come si traduce |
|---|---|
| passa per un punto $P$ | sostituisci le coordinate di $P$ e ricava il parametro |
| parallela a una retta data | coefficiente angolare uguale: $m = m'$ |
| perpendicolare a una retta data | $m \cdot m' = -1$ |
| parallela all'asse $x$ / all'asse $y$ | coefficiente di $x$ nullo / coefficiente di $y$ nullo (in forma implicita) |
| distanza massima da un punto $P$ | perpendicolare al segmento che unisce il centro con $P$ |
Una strada rettilinea di Firenze è rappresentata, in un sistema di riferimento in cui l'unità è 1 km, dalla retta $x + y - 6 = 0$. Un'antenna si trova nel punto…
Una strada rettilinea di Firenze è rappresentata, in un sistema di riferimento in cui l'unità è 1 km, dalla retta $x + y - 6 = 0$. Un'antenna si trova nel punto $A(1; 1)$. Scrivi l'equazione del fascio di rette passanti per $A$ e determina la retta del fascio parallela alla strada e quella perpendicolare alla strada.
Sia dato il fascio di rette $y = mx + 2m - 1$, con $m \in \mathbb{R}$. a) Dimostra che il fascio è proprio e individua il suo centro $C$. b) Determina le rette del…
Sia dato il fascio di rette $y = mx + 2m - 1$, con $m \in \mathbb{R}$.
- a) Dimostra che il fascio è proprio e individua il suo centro $C$.
- b) Determina le rette del fascio che formano con gli assi cartesiani un triangolo di area $4$ nel primo quadrante.
- c) Spiega quale retta passante per $C$ non è rappresentata dall'equazione data.
Dato il triangolo $ABC$ con $A(0; 0)$, $B(6; 0)$, $C(2; 4)$, scrivi il fascio di rette di centro $C$. Determina le rette del fascio che dividono il triangolo in due…
Dato il triangolo $ABC$ con $A(0; 0)$, $B(6; 0)$, $C(2; 4)$, scrivi il fascio di rette di centro $C$. Determina le rette del fascio che dividono il triangolo in due parti di area uguale, giustificando il ragionamento.
Vuoi tornare all'antenna? Ogni direzione corrisponde a un valore di $m$: l'equazione $y - y_0 = m(x - x_0)$ le descrive tutte insieme. Per puntare alla torre basta imporre il passaggio per il punto in cui si trova la torre e ricavare $m$.
In sintesi
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Fascio proprio: rette per un centro $C(x_0; y_0)$, di equazione $y - y_0 = m(x - x_0)$ (più la retta verticale $x = x_0$).
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Fascio improprio: rette parallele, $y = m_0x + q$ con $q$ parametro (oppure $x = k$ per le verticali).
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Fascio generato da due rette: $r + k\,s = 0$. Se $r$ e $s$ sono incidenti, il centro è $r \cap s$; se sono parallele, il fascio è improprio. La retta $s$ non si ottiene per nessun valore di $k$.
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Per scegliere una retta del fascio si impone una condizione (passaggio per un punto, parallelismo, perpendicolarità) e si ricava il parametro.
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Dopo aver trovato la retta, verifica sempre che passi per il centro.