Numeri irrazionali e rappresentazione sulla retta

Gli insiemi numerici

Conosci già diversi tipi di numeri:

• $\mathbb{N}$: naturali $0, 1, 2, \dots$

• $\mathbb{Z}$: interi relativi $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

• $\mathbb{Q}$: razionali, cioè numeri che si scrivono come $\frac{m}{n}$ con $m, n$ interi e $n \neq 0$.

I numeri razionali hanno uno sviluppo decimale finito (come $\frac{7}{4} = 1{,}75$) oppure periodico (come $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$). Ogni numero decimale periodico si può riscrivere come frazione.

Esistono però numeri con sviluppo decimale illimitato e non periodico: sono gli irrazionali. Esempi: $\sqrt{2} = 1{,}41421\dots$, $\sqrt{5}$, $\pi = 3{,}14159\dots$. L'unione di razionali e irrazionali forma l'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali.

√2 sulla retta

Su una retta orientata fissa lo $0$ e l'unità di misura: il punto $1$. Costruisci un quadrato di lato $1$: per il teorema di Pitagora la sua diagonale misura $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Con il compasso, puntato in $0$, riporta la diagonale sulla retta: ottieni il punto che rappresenta $\sqrt{2}$.

Ogni numero reale corrisponde a un solo punto della retta e viceversa: la retta non ha "buchi". Per questo si parla di retta reale. Per $\sqrt{3}$ basta costruire un triangolo rettangolo con cateti $\sqrt{2}$ e $1$, e così via.

Perché √2 non è razionale

Pitagora e i suoi allievi credevano che ogni lunghezza fosse una frazione. La diagonale del quadrato mostra il contrario. La dimostrazione è per assurdo: si suppone vero il contrario e si arriva a una contraddizione.

Lo stesso schema funziona per $\sqrt{3}$ (si ragiona sulla divisibilità per $3$). Da un irrazionale se ne ottengono altri: se $\sqrt{3}$ è irrazionale, lo è anche $1 + \sqrt{3}$. Infatti, se fosse uguale a una frazione $r$, allora $\sqrt{3} = r - 1$ sarebbe razionale, assurdo.

Approssimare un numero irrazionale

Un irrazionale ha infinite cifre, quindi in pratica lo si approssima. Si cercano due numeri razionali che lo racchiudono: uno per difetto (più piccolo) e uno per eccesso (più grande).

Metodo di bisezione

Si parte da un intervallo $[a; b]$ che contiene il numero e lo si dimezza: si guarda il punto medio $m$ e si tiene la metà in cui sta il numero (confrontando $m^2$ con il radicando).

A ogni passo l'ampiezza dell'intervallo si dimezza: gli intervalli si "stringono" attorno al numero.

Errore assoluto e relativo

Se $x$ è il valore esatto e $x_0$ l'approssimazione:

• errore assoluto $\varepsilon_a = |x - x_0|$;

• errore relativo $\varepsilon_r = \dfrac{\varepsilon_a}{|x|}$, spesso espresso in percentuale.

Per $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ approssimato con $1{,}4$: $\varepsilon_a \approx 0{,}01421$ e $\varepsilon_r \approx \frac{0{,}01421}{1{,}41421} \approx 0{,}01 = 1\%$.

Vuoi sapere la diagonale del quadrato di lato $1$ m? Vale $\sqrt{2}$ m $\approx 1{,}414$ m: un numero irrazionale, che nessuna frazione può esprimere esattamente.

In sintesi

• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$; gli irrazionali sono i reali con sviluppo decimale illimitato non periodico.

• $\sqrt{n}$ è irrazionale se $n$ non è un quadrato perfetto.

• $\sqrt{2}$ si costruisce sulla retta come diagonale del quadrato di lato $1$; a ogni reale corrisponde un punto della retta e viceversa.

• Per dimostrare per assurdo che $\sqrt{2}$ è irrazionale: $p^2 = 2q^2$ porta a $p$ e $q$ entrambi pari, contro l'ipotesi che siano primi tra loro.

• Si approssima per difetto e per eccesso (con i quadrati o per bisezione).

• Errore assoluto $|x - x_0|$; errore relativo $\frac{|x - x_0|}{|x|}$, in percentuale.