Triangoli simili

Due triangoli hanno, rispettivamente, i seguenti angoli: il primo ha un angolo di $45^\circ$ e un altro di $60^\circ$; il secondo ha un angolo di $60^\circ$ e un altro di $75^\circ$. Determina se i due triangoli sono simili, giustificando la risposta in base ai criteri di similitudine.

I lati di un triangolo misurano $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ e $9\text{ cm}$. Sapendo che un secondo triangolo è simile a questo e che il suo lato minore misura $15\text{ cm}$, calcola la lunghezza degli altri due lati del secondo triangolo.

Determina se i triangoli $ABC$ e $DEF$ sono simili, sapendo che i loro lati misurano $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ e $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. In caso affermativo, indica qual è il criterio utilizzato e il rapporto di similitudine.

Marco deve determinare se due triangoli, $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$, sono simili. Nel triangolo $\triangle ABC$ i lati misurano $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ e l'angolo $\hat{B} = 40^\circ$. Nel triangolo $\triangle DEF$ i lati misurano $DE = 4\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ e l'angolo $\hat{E} = 40^\circ$. Marco afferma: «Poiché $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1,5$, i lati sono proporzionali, e poiché entrambi hanno un angolo di $40^\circ$, sono simili per il criterio LAL». Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale che Marco commette nell'applicare il criterio LAL e indica quale dato angolare esatto dovresti conoscere in entrambi i triangoli per poter garantire con certezza la loro similitudine.

In un triangolo $ABC$ si traccia un segmento $DE$ parallelo alla base $BC$, in modo che il punto $D$ appartenga al lato $AB$ e il punto $E$ al lato $AC$. Sapendo che $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ e $DE = 5\text{ cm}$, applica il teorema di Talete nel triangolo per calcolare la lunghezza della base $BC$.

Puoi svolgere l'esercizio su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nella figura seguente i segmenti $DE$ e $BC$ sono paralleli. Le lunghezze sono date da espressioni algebriche: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$ e $EC = 3\text{ cm}$. Applica il teorema di Talete per impostare un'equazione e calcolare il valore numerico di $x$.

In un triangolo $\triangle ABC$ le lunghezze dei lati sono $AB = 18\text{ cm}$ e $AC = 24\text{ cm}$. Si segnano due punti: $D$ sul lato $AB$ a $6\text{ cm}$ da $A$, e $E$ sul lato $AC$ a $8\text{ cm}$ da $A$. Si vuole dimostrare se il segmento $DE$ è parallelo al lato $BC$ e trovare quale frazione del lato $BC$ misura $DE$. Per risolverlo si propongono due strategie: Alberto suggerisce di verificare se $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ applicando il inverso del teorema di Talete; Giulia suggerisce di confrontare direttamente i triangoli $\triangle ADE$ e $\triangle ABC$ mediante il criterio LAL, condividendo l'angolo $\hat{A}$. Sviluppa completamente entrambi i metodi con le relative giustificazioni e analizza criticamente quale delle due strategie è più completa per rispondere a entrambe le domande, spiegando il limite del metodo di Talete rispetto al rapporto tra le basi.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti (proiezioni) che misurano $4\text{ cm}$ e $9\text{ cm}$. Applica il teorema dell'altezza (secondo teorema di Euclide) per calcolare la lunghezza di tale altezza $h$.

In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura $10\text{ cm}$ e la proiezione di uno dei cateti su di essa misura $3,6\text{ cm}$. Applica il teorema del cateto (primo teorema di Euclide) per trovare la lunghezza di tale cateto.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa misura $6\text{ cm}$ e la proiezione di uno dei cateti sull'ipotenusa è $4,5\text{ cm}$. Applica i teoremi sulla similitudine nei triangoli rettangoli per calcolare il perimetro e l'area dell'intero triangolo.

La diagonale di un rettangolo misura $20\text{ cm}$. Se si traccia la perpendicolare da uno dei vertici alla diagonale, questa risulta divisa in due segmenti. Se uno dei segmenti misura $7,2\text{ cm}$, trova l'area totale del rettangolo applicando i teoremi del cateto e dell'altezza.

Per calcolare l'altezza di un edificio, uno studente colloca uno specchio piano sul suolo a $12\text{ m}$ dalla base dell'edificio. Allontanandosi di $1,5\text{ m}$ dallo specchio, lo studente (i cui occhi sono a $1,6\text{ m}$ da terra) vede esattamente la sommità dell'edificio riflessa in esso. Sapendo che gli angoli di incidenza e di riflessione sullo specchio formano triangoli rettangoli simili, calcola l'altezza dell'edificio.

Durante una visita culturale a Piazza del Campo a Siena, un gruppo di studenti decide di calcolare l'altezza della facciata del Municipio sfruttando una giornata serena e la proiezione delle ombre. Una studentessa alta $1,68\text{ m}$ proietta in quel momento sul suolo orizzontale un'ombra di $1,20\text{ m}$, mentre l'ombra dell'edificio misura $25\text{ m}$. Prima di fare calcoli esatti, stima in modo motivato se l'altezza dell'edificio sarà maggiore o minore dei $25\text{ m}$ della sua ombra e proponi un intervallo approssimativo a mente per tale altezza. Quindi dimostra quale criterio geometrico garantisce la similitudine dei triangoli formati, calcola l'altezza reale dell'edificio con due cifre decimali e verifica se la tua stima iniziale era corretta.

Una camera oscura (o camera stenopeica) ha una profondità di $15\text{ cm}$. Viene posta davanti a un edificio che si trova a $30\text{ m}$ di distanza dal foro della camera. Se l'immagine capovolta dell'edificio che si proietta sul fondo della camera ha un'altezza di $12\text{ cm}$, qual è l'altezza reale dell'edificio?

Per misurare la larghezza di un fiume con le rive parallele, un topografo si pone in un punto $A$ di una riva, proprio di fronte a un albero $B$ sulla riva opposta. Cammina per $15\text{ m}$ lungo la riva fino a un punto $C$ e pianta un picchetto. Poi cammina per altri $3\text{ m}$ fino al punto $D$, gira di $90^\circ$ allontanandosi dal fiume e cammina per $4\text{ m}$ fino a un punto $E$, dal quale vede allineati il picchetto $C$ e l'albero $B$. Calcola la larghezza $x$ del fiume.

Durante un'escursione nel Parco Naturale delle Gole del Fiume Sagittario (Abruzzo), alcuni tecnici ambientali devono conoscere la larghezza del fiume tra un salice situato nel punto $A$ (sulla riva opposta) e un segnale piantato nel punto $B$ (sulla loro riva, proprio di fronte a $A$). Per misurarla senza attraversare l'acqua, tracciano una linea retta lungo la loro riva perpendicolare al segmento $AB$ e piantano due paletti: uno nel punto $C$, a $24\text{ m}$ da $B$, e un altro nel punto $D$, a $6\text{ m}$ da $C$ sulla stessa linea ($B$, $C$ e $D$ risultano allineati). Da $D$ camminano in direzione perpendicolare alla riva, allontanandosi dal fiume, fino a un punto $E$ dal quale i punti $C$ e $A$ si vedono perfettamente allineati. La distanza misurata da $D$ a $E$ è $4,5\text{ m}$. Modella la situazione individuando i due triangoli rettangoli, dimostra quale criterio assicura che sono simili, calcola la larghezza del fiume tra $A$ e $B$ e determina tra quali valori oscillerebbe tale larghezza se la misura di $DE$ avesse un margine di errore di $\pm 0,3\text{ m}$.

Il rapporto di similitudine tra due poligoni simili è $k = 2,5$. Se l'area del poligono minore è $12\text{ cm}^2$, qual è l'area del poligono maggiore?

Si vuole progettare un triangolo $\triangle A'B'C'$ simile a un triangolo rettangolo $\triangle ABC$ i cui cateti misurano $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. La condizione fissata è che l'area del nuovo triangolo $\triangle A'B'C'$ sia esattamente $96\text{ cm}^2$. Calcola prima l'area del triangolo originale $\triangle ABC$ e deduci con un ragionamento il rapporto di similitudine $k$ tra i due. A partire da tale rapporto, determina la lunghezza esatta dei tre lati di $\triangle A'B'C'$ e verifica che anche il rapporto tra i loro perimetri coincide con $k$.

Due aziende producono vele triangolari simili per barche da regata. Il perimetro della vela piccola è $12\text{ m}$ e quello della vela grande è $18\text{ m}$. Se l'area della vela piccola è $6\text{ m}^2$, qual è l'area della vela grande?

Una piramide a base quadrata ha un'altezza di $12\text{ cm}$ e il lato della sua base misura $8\text{ cm}$. La piramide viene tagliata da un piano parallelo alla base, situato a $3\text{ cm}$ dal vertice. Calcola l'area della sezione ottenuta e il volume della piramide piccola superiore.

Una cisterna d'acqua ha la forma di un cono rovesciato (con il vertice verso il basso), con raggio della base superiore di $3\text{ m}$ e una profondità totale di $4\text{ m}$. Se la cisterna contiene acqua fino a un'altezza di $2\text{ m}$, utilizza la relazione tra i volumi di solidi simili per calcolare il volume d'acqua contenuto e il volume vuoto rimanente.

Un consorzio di irrigazione di Foggia gestisce un appezzamento triangolare $\triangle ABC$, la cui base $BC$ misura $160\text{ m}$ e la cui altezza perpendicolare dal vertice $A$ a tale base misura $100\text{ m}$. Occorre tracciare un canale rettilineo $MN$ parallelo alla base $BC$ ($M$ sul lato $AB$ e $N$ sul lato $AC$) che divida il terreno in due parti di superficie esattamente uguale: un triangolo superiore $\triangle AMN$ e un trapezio inferiore $MNCB$. Giustifica quale criterio garantisce che $\triangle AMN$ è simile a $\triangle ABC$, deduci il rapporto di similitudine esatto $k$ (sotto forma di radicale semplificato e con tre cifre decimali) che fa sì che le aree si dividano al $50\,\%$, calcola la lunghezza del canale $MN$ e la distanza dal vertice $A$ a cui deve essere tracciato. Infine, confuta matematicamente la proposta intuitiva di un agricoltore che suggerisce di scavare il canale proprio a metà altezza ($50\text{ m}$), calcolando quale percentuale reale dell'area totale rimarrebbe nel triangolo superiore se si seguisse la sua proposta.

In un triangolo rettangolo di cateti $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$ si inscrive un quadrato di lato $x$ in modo che uno dei vertici del quadrato coincida con il vertice dell'angolo retto del triangolo e il vertice opposto si trovi sull'ipotenusa. Calcola il valore esatto del lato del quadrato $x$.

Due pali verticali di altezze $4\text{ m}$ e $6\text{ m}$ sono posti su un suolo orizzontale, a una distanza di $10\text{ m}$ l'uno dall'altro. Si tende un cavo rettilineo dalla sommità di ciascun palo alla base dell'altro. Calcola a quale altezza $h$ dal suolo si incrociano i due cavi. Dimostra se questo risultato dipende o no dalla distanza che separa i pali.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti (proiezioni) tali che uno è più lungo dell'altro di $5\text{ cm}$. Se l'altezza misura $6\text{ cm}$, determina analiticamente la lunghezza dei due segmenti e calcola il perimetro esatto del triangolo originale.

Si ha un trapezio isoscele le cui basi misurano $15\text{ cm}$ e $25\text{ cm}$ e la cui altezza è $12\text{ cm}$. Si prolungano i lati obliqui fino a incontrarsi in un punto, formando un triangolo nella parte superiore. Calcola l'altezza $x$ di tale triangolo superiore e l'area totale del grande triangolo formato.

In una sfera di raggio $R = 15\text{ cm}$ è inscritto un cono retto il cui apotema misura $g = 24\text{ cm}$. Considera il triangolo rettangolo formato dal diametro della sfera e dall'apotema del cono per applicare i teoremi di similitudine. Calcola il raggio della base del cono e la sua altezza.