Sistemi omogenei di secondo grado

Equazioni omogenee e scomposizione

Un'equazione di secondo grado in $x$ e $y$ è omogenea quando ogni termine ha grado $2$ e non c'è né un termine noto né un termine di primo grado:

Per esempio $x^2 - xy - 6y^2 = 0$ è omogenea. Invece $x^2 + xy = 12$ non lo è, perché ha un termine noto.

Il segreto di queste equazioni è che, quando il discriminante $b^2 - 4ac$ non è negativo (lo vedremo più avanti), si scompongono in due fattori di primo grado. Il trinomio $x^2 - xy - 6y^2$ si scompone come un trinomio di secondo grado: cerchiamo due numeri con somma $-1$ e prodotto $-6$, cioè $-3$ e $2$.

Per la legge di annullamento del prodotto, $x = 3y$ oppure $x = -2y$. Sono due rette passanti per l'origine.

Perché succede? Se $y \neq 0$, dividendo per $y^2$ e ponendo $t = \dfrac{x}{y}$ si ottiene $t^2 - t - 6 = 0$, che ha soluzioni $t = 3$ e $t = -2$. Quindi $x = 3y$ oppure $x = -2y$. Il rapporto $x/y$ è costante lungo una retta per l'origine: ecco perché l'equazione descrive rette per $O$.

Il metodo: due sistemi lineari o più semplici

Un sistema di secondo grado di questo tipo contiene un'equazione omogenea di secondo grado, accompagnata da un'altra equazione (lineare oppure di secondo grado). Si parla di sistema omogeneo in senso stretto quando entrambe le equazioni sono omogenee di secondo grado. Il metodo è sempre lo stesso:

1. scomponi l'equazione omogenea (con $a \neq 0$ e $b^2 - 4ac \geq 0$) in $(x - m_1 y)(x - m_2 y) = 0$;

2. sostituisci $x = m_1 y$ nell'altra equazione e risolvi il sistema ottenuto;

3. fai lo stesso con $x = m_2 y$;

4. l'insieme delle soluzioni è l'unione delle soluzioni dei due sistemi.

Se la seconda equazione è di secondo grado, il procedimento non cambia: dopo la sostituzione compare una sola incognita, e di solito basta estrarre una radice.

Nota che le soluzioni di un sistema con circonferenza centrata in $O$ vengono sempre a coppie opposte $(x; y)$ e $(-x; -y)$: è un buon controllo.

Quando il coefficiente di $x^2$ non è 1

Se il trinomio non si scompone "a occhio", usa la formula risolutiva trattando $x$ come incognita e $y$ come numero. Per $ax^2 + bxy + cy^2 = 0$, con $a \neq 0$:

Il motivo: dividendo per $y^2$ (con $y \neq 0$) e ponendo $t = \frac{x}{y}$ ottieni $at^2 + bt + c = 0$, e la formula risolutiva dà $t$.

Quando la seconda equazione non è omogenea, per esempio $x^2 + xy = 12$, la sostituzione $x = m y$ dà $m^2y^2 + m y^2 = 12$, cioè $y^2(m^2 + m) = 12$: si ricava $y^2$ e poi $y$, con attenzione al segno.

Casi particolari e discussione col parametro

Il caso $y = 0$. Quando dividi per $y$ (o usi $t = x/y$) stai supponendo $y \neq 0$. Controlla sempre $y = 0$ a parte: se $y = 0$ nell'equazione omogenea $ax^2 + bxy + cy^2 = 0$ resta $ax^2 = 0$, quindi, se $a \neq 0$, $x = 0$: l'unica possibilità è $(0; 0)$. (Se invece $a = 0$, tutte le coppie $(x; 0)$ verificano l'omogenea: sostituisci $y = 0$ nell'altra equazione.) Questa coppia è soluzione del sistema solo se verifica anche l'altra equazione. Se l'altra equazione ha un termine noto diverso da $0$, per esempio $x^2 + y^2 = 20$ o $2x^2 - y^2 = 14$, allora $(0; 0)$ non la verifica e puoi tranquillamente supporre $y \neq 0$.

Discriminante negativo. Se $b^2 - 4ac < 0$ l'equazione omogenea non si scompone in $\mathbb{R}$: l'unica soluzione reale è $(0; 0)$.

Il parametro. Se il sistema contiene un parametro $k$, spesso conviene guardare la figura: le rette per l'origine sono fisse e la circonferenza $x^2 + y^2 = k$ ha raggio $\sqrt{k}$.

Torna al faro dell'inizio: le rotte sono due rette per $O$, il bordo della zona illuminata è la circonferenza di raggio $\sqrt{k}$. Una nave raggiunge il bordo in due punti, quindi con due rotte i punti sono quattro, se $k > 0$. Se $k = 0$ la zona si riduce al solo faro, e se $k < 0$ non esiste alcuna zona illuminata.

In sintesi

• Un'equazione omogenea di secondo grado è $ax^2 + bxy + cy^2 = 0$: tutti i termini hanno grado $2$.

• Se $a \neq 0$ e $b^2 - 4ac \geq 0$ si scompone in $(x - m_1 y)(x - m_2 y) = 0$, cioè in due rette per l'origine (coincidenti se $b^2 - 4ac = 0$), con la scomposizione del trinomio o con la formula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,y$.

• Il sistema si spezza in due sistemi più semplici, uno per ogni retta; le soluzioni sono l'unione delle soluzioni.

• Controlla sempre il caso $y = 0$: se $a \neq 0$ dall'omogenea segue $x = 0$, e $(0; 0)$ è soluzione solo se verifica anche l'altra equazione.

• Se $b^2 - 4ac < 0$ l'unica soluzione reale dell'omogenea è $(0; 0)$.

• Con $x^2 + y^2 = k$: nessuna soluzione se $k < 0$, solo $(0; 0)$ se $k = 0$, quattro soluzioni (due per retta) se $k > 0$.