Potenze con esponente intero

Date le seguenti espressioni numeriche:

1. a) Senza calcolare prima il valore numerico esatto di nessuna di esse, fai una stima ragionata rispondendo a queste domande:

• Quali di queste potenze daranno un risultato strettamente maggiore di $1$?

• Quali daranno un risultato compreso tra $0$ e $1$?

• Qualcuna darà un risultato negativo? Giustifica la tua deduzione basandoti sul segno della base, sulla parità dell'esponente e sul significato dell'esponente negativo come inverso moltiplicativo.

1. b) Calcola ora il valore esatto di ciascuna sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini o di numero intero e verifica se le tue stime iniziali erano corrette.

Calcola il valore numerico delle seguenti potenze con esponente negativo, esprimendo il risultato come frazione ridotta ai minimi termini o come numero intero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ e $(-1)^{-4}$.

In una verifica di terza media, Sonia commette tre errori molto frequenti operando con potenze ad esponente intero:

1) Scrive che $(-3)^{-2} = -\frac{1}{9}$, ragionando che «il segno meno dell'esponente rende negativo il risultato finale».

2) Scrive che $5^{-1} = -5$, affermando che «elevare a $-1$ equivale a cambiare il segno del numero».

3) Scrive che $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$, sostenendo che «invertendo la frazione per eliminare l'esponente negativo, scompare anche il segno meno della base».

Per ciascuno dei tre casi:

1. a) Spiega qual è l'errore concettuale commesso da Sonia e quale proprietà ha applicato in modo scorretto.
2. b) Mostra lo svolgimento corretto passo dopo passo e calcola il risultato numerico finale come numero intero o frazione ridotta ai minimi termini.

Analizza e discuti con ragionamento il segno risultante dell'espressione matematica $(-a)^{-n}$ a seconda di due fattori: se il numero reale $a$ è strettamente positivo o negativo, e se il numero intero $n$ è pari o dispari. Elabora uno schema o una tabella con i quattro casi possibili che risultano da questa combinazione e accompagnalo con un esempio numerico concreto per ciascun caso.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Esprimi le seguenti potenze con base frazionaria usando un esponente positivo e poi calcola il loro valore esatto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ e $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.

Calcola e semplifica al massimo la seguente espressione, esprimendo il risultato finale come frazione ridotta ai minimi termini:

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$

Dimostra matematicamente che, per qualsiasi numero reale $a \neq 0$ e qualsiasi numero intero $n$, vale l'identità $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Per la dimostrazione usa la definizione rigorosa di potenza con esponente negativo e le proprietà delle operazioni con le frazioni.

Applica le proprietà della moltiplicazione di potenze con la stessa base per esprimere il risultato come un'unica potenza: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.

Semplifica la seguente frazione esprimendo sia il numeratore sia il denominatore come potenze della stessa base prima, e dai il risultato come un'unica potenza: $\frac{8^4}{4^5}$.

Semplifica la seguente espressione, scomponendo prima in fattori le basi composte e applicando le proprietà delle potenze con esponente intero. Lascia il risultato come prodotto di potenze di numeri primi:

$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali diversi da zero. Applica le proprietà delle potenze e lascia il risultato finale espresso esclusivamente con esponenti positivi:

$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$

In un videogioco di strategia, il numero di soldati della tua fazione raddoppia ogni ora di partita. Se all'inizio della partita hai $150$ soldati, scrivi un'espressione matematica che usi le potenze per indicare il numero di soldati dopo $h$ ore. Quanti soldati ci saranno dopo $6$ ore?

In un laboratorio chimico si sta filtrando una sostanza tossica contenuta in un liquido. Ogni filtro installato nel circuito riduce la quantità di tossine a un terzo. Se la quantità iniziale di tossine è di $81$ grammi, esprimi con una potenza ad esponente negativo la quantità di tossina che rimane dopo il passaggio attraverso $5$ filtri successivi e calcola il suo valore esatto.

Trova il valore del numero intero $x$ per cui vale la seguente equazione esponenziale, esprimendo tutti i termini come potenze della stessa base:

$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$

Risolvi la seguente equazione esponenziale. Per farlo, applica le proprietà delle potenze con esponente intero per separare le basi e raccogli a fattor comune:

$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$