Esercizi: Isometrie, omotetie e invarianti

Il triangolo $ABC$ ha vertici $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(2; 3)$. Determina le coordinate dei vertici del triangolo trasformato dalla traslazione di vettore $\vec{v}=(-2; 3)$.

Determina le coordinate dei simmetrici del punto $P(3; -2)$ rispetto:

1. a) all'asse $x$;

1. b) all'asse $y$;

1. c) all'origine.

Il segmento $AB$ con $A(2; 1)$, $B(6; 3)$ viene trasformato da un'omotetia di centro l'origine e rapporto $k = 3$. Trova le coordinate di $A'$ e $B'$ e confronta le lunghezze di $AB$ e $A'B'$.

Il punto $P(4; 1)$ viene ruotato di $90^\circ$ in senso antiorario attorno all'origine. Determina $P'$. Ripeti poi la rotazione di $180^\circ$ e verifica che $P''$ coincida con il simmetrico di $P$ rispetto all'origine.

Un'omotetia di centro $C(1; 2)$ e rapporto $k = -2$ trasforma il punto $P(3; 4)$ in $P'$.

1. a) Determina le coordinate di $P'$.

1. b) Un triangolo ha area $5$ cm$^2$: quale area ha l'immagine?

1. c) Indica quali proprietà (lunghezze, angoli, parallelismo) si conservano.

Determina la composizione della simmetria rispetto all'asse $x$ seguita dalla simmetria rispetto all'asse $y$. Quale trasformazione si ottiene? Verificalo sul punto $P(5; 2)$.

Dimostra che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele distanti $d$ è una traslazione e determina modulo e direzione del vettore in funzione di $d$.

Dati i punti $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$ nello stesso semipiano rispetto all'asse $x$, trova il punto $P$ sull'asse $x$ per cui $AP + PB$ è minima, usando una simmetria e giustificando il ragionamento.

Individua, per ciascuna trasformazione (traslazione, rotazione, simmetria assiale, omotetia di rapporto $k \ne \pm 1$), quali tra queste grandezze sono invarianti: lunghezze, ampiezze degli angoli, parallelismo, orientamento, area. Giustifica le risposte con esempi o brevi dimostrazioni.