Esercizi: Numeri irrazionali e rappresentazione sulla retta

Classifica i seguenti numeri come naturali, interi, razionali o irrazionali (indica tutti gli insiemi a cui appartengono):

$-3$; $\frac{7}{4}$; $\sqrt{9}$; $\sqrt{5}$; $0{,}\overline{3}$; $\pi$

Rappresenta sulla retta numerica il punto corrispondente a $\sqrt{2}$ usando la diagonale di un quadrato di lato $1$, e descrivi la costruzione.

Approssima $\sqrt{7}$ per difetto e per eccesso con una cifra decimale, poi con due cifre decimali, verificando con i quadrati.

Costruisci una successione di intervalli che racchiudono $\sqrt{3}$: parti da $[1; 2]$ e dimezza ad ogni passo l'intervallo scegliendo la metà che contiene $\sqrt{3}$, per tre passi. Scrivi gli intervalli ottenuti.

Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale che si commette approssimando $\sqrt{2}$ con $1{,}41$ (usa $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$).

Un quadrato ha area $10$ m$^2$ e il suo lato è $\ell$.

1. a) Esprimi $\ell$ con un radicale.

1. b) Trova due numeri decimali con due cifre che racchiudano $\ell$.

1. c) Spiega perché il lato non può essere espresso come frazione di interi.

Dimostra per assurdo che $\sqrt{2}$ non è razionale, supponendo $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ con $p$ e $q$ primi tra loro.

Dimostra che $\sqrt{3}$ è irrazionale. Dimostra poi che $1 + \sqrt{3}$ è irrazionale.

Stabilisci, giustificando, se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. a) la somma di due numeri irrazionali è sempre irrazionale;

1. b) il prodotto di un razionale non nullo e di un irrazionale è irrazionale;

1. c) tra due numeri razionali distinti esiste sempre un numero irrazionale.