Esercizi: Eventi composti

Lanciamo due monete in modo indipendente. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due croci.

In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline azzurre. Si estrae una pallina, si annota il suo colore, si rimette nella scatola e si estrae una seconda pallina. Trova la probabilità che entrambe le palline siano rosse.

Lanciamo un dado cubico equilibrato (con le facce numerate da $1$ a $6$) e una moneta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta?

Da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) si estraggono due carte consecutivamente senza reinserimento. Calcola la probabilità che le due carte siano Re.

In un ristorante, il $60\%$ dei clienti ordina il menù del giorno e il $40\%$ ordina alla carta. Tra quelli che ordinano il menù, il $70\%$ prende il dolce. Tra quelli che ordinano alla carta, il $50\%$ prende il dolce. Calcola la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il menù del giorno e prenda il dolce.

In una classe di seconda superiore ci sono $12$ ragazzi e $18$ ragazze. Si sa che $4$ ragazzi e $6$ ragazze portano gli occhiali. Se scegliamo uno studente a caso, qual è la probabilità che sia una ragazza con gli occhiali?

Facciamo girare le due roulette indipendenti mostrate in figura. Calcola la probabilità che la prima roulette indichi il numero $3$ e la seconda roulette indichi il colore verde (V).

In una strada ci sono due semafori indipendenti. La probabilità che il primo sia verde è $0,4$ e la probabilità che il secondo sia verde è $0,5$. Trova la probabilità di trovare entrambi i semafori verdi passando per quella strada.

In una scatola ci sono $6$ penne blu e $4$ penne nere. Estraiamo due penne consecutivamente e senza reinserimento. Vogliamo calcolare la probabilità che le due penne estratte siano dello stesso colore.

Sergio svolge la seguente risoluzione:

«Poiché ci sono due colori possibili, calcolo prima la probabilità di due blu: $\frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$. Poi quella di due nere: $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$. Infine, poiché mi va bene uno qualsiasi dei due casi, moltiplico i due risultati: $\frac{36}{100} \cdot \frac{16}{100} = 0,0576$, cioè un $5,76\,\%$».

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Sergio: uno relativo alla dipendenza tra fasi consecutive e l'altro alla combinazione dei rami finali.
2. b) Correggi l'impostazione e calcola la probabilità esatta di ottenere due penne dello stesso colore sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini e come percentuale.

In un gioco da tavolo, per superare un ostacolo devi lanciare un dado a sei facce due volte di seguito. La regola stabilisce che superi l'ostacolo se ottieni almeno un numero maggiore di $4$ (cioè un $5$ o un $6$) in uno qualsiasi dei due lanci.

1. a) Stima: prima di fare qualsiasi calcolo esatto, rifletti e rispondi: pensi che la probabilità finale di superare la prova sarà minore del $50\,\%$, esattamente il $50\,\%$ o maggiore del $50\,\%$? Scrivi una frase che giustifichi la tua intuizione.
2. b) Verifica: modella il doppio lancio come un evento composto. Calcola prima la probabilità dell'evento contrario («non ottenere più di 4 in nessun lancio») applicando la regola del prodotto e, a partire da essa, ricava la probabilità reale di superare l'ostacolo sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini e di percentuale.
3. c) Confronta il risultato con la tua stima iniziale: coincide con ciò che avevi pensato? Spiega perché, concatenando due possibilità, la probabilità complessiva risulta notevolmente maggiore di quella di un singolo lancio (che è $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3\,\%$).

Si estraggono tre carte consecutivamente e senza reinserimento da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo). Calcola la probabilità di ottenere tre carte del seme di denari.

In un centro sportivo si offrono corsi di tennis e padel. Ci sono $120$ soci iscritti a questi corsi, e ogni socio pratica un solo sport. Si sa che $70$ soci giocano a padel e che in totale ci sono $50$ donne. Inoltre, $30$ donne giocano a tennis. Se si sceglie un socio a caso, calcola la probabilità che sia un uomo che gioca a padel.

Abbiamo due urne. L'urna $A$ contiene $4$ palline bianche e $2$ nere. L'urna $B$ contiene $3$ palline bianche e $5$ nere. Lanciamo una moneta equilibrata; se esce testa, estraiamo una pallina dall'urna $A$, e se esce croce, estraiamo una pallina dall'urna $B$. Trova la probabilità che la pallina estratta sia bianca.

Una fabbrica di componenti elettronici ha due macchine. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei componenti e la macchina $M_2$ il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei componenti prodotti da $M_1$ è difettoso, mentre il $5\%$ di quelli prodotti da $M_2$ è difettoso. Se si seleziona un componente a caso in magazzino, qual è la probabilità che sia difettoso?

Due giocatrici di basket, Marta e Laura, effettuano un tiro libero ciascuna. La probabilità che Marta segni è $0,8$ e la probabilità che Laura segni è $0,7$. I loro tiri sono eventi indipendenti. Calcola la probabilità che almeno una delle due segni il proprio tiro libero.

In un gioco, un partecipante estrae prima una carta da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo). Se la carta estratta è del seme di coppe, lancia un dado cubico equilibrato (da $1$ a $6$). Se la carta NON è di coppe, lancia una moneta. Qual è la probabilità che il partecipante finisca per ottenere un $5$ con il dado?

Abbiamo due scatole. La scatola 1 contiene $3$ gettoni rossi e $2$ verdi. La scatola 2 contiene $1$ gettone rosso e $4$ verdi. Si estrae un gettone a caso dalla scatola 1 e, senza guardarne il colore, lo si inserisce nella scatola 2. Poi si estrae un gettone a caso dalla scatola 2. Calcola la probabilità che questo secondo gettone sia rosso.

Un arciere ha una probabilità $0,85$ di colpire il centro del bersaglio a ogni tiro. Se effettua tre tiri consecutivi e indipendenti, trova la probabilità che sbagli tutti e tre i tiri.

Un tiratore di precisione ha una probabilità fissa $0,7$ di colpire un bersaglio a ogni tiro. Se effettua $3$ tiri in modo del tutto indipendente, vogliamo calcolare la probabilità che riesca a centrare il bersaglio almeno una volta.

Per risolvere questo problema si possono impostare due strategie diverse:

• Metodo A (diretto): individuare tutti i risultati favorevoli (colpire esattamente una volta, esattamente due volte o tutti e tre i tiri), calcolare la probabilità di ogni ramo dell'albero e sommarle.

• Metodo B (evento contrario): calcolare la probabilità di sbagliare tutti e tre i tiri consecutivamente e sottrarre questo valore da $1$.

1. a) Confronta i due percorsi: quanti rami del diagramma ad albero dovresti calcolare e sommare con il Metodo A rispetto alle operazioni necessarie con il Metodo B? Giustifica quale è più efficiente e più sicuro contro le distrazioni algebriche.
2. b) Applica il metodo più conveniente per calcolare la probabilità richiesta, esprimendo il risultato finale in forma decimale e come percentuale.
3. c) Se il tiratore effettuasse $5$ tiri anziché $3$, spiega come cambierebbe la quantità di calcoli necessari nel Metodo A rispetto al Metodo B.

Secondo i registri di una motorizzazione provinciale in Italia relativi ai candidati che conseguono la patente B:

• La probabilità che un allievo superi l'esame teorico al primo tentativo è del $70\,\%$.

• Tra coloro che superano la teoria al primo tentativo, la probabilità di superare l'esame pratico al primo tentativo è del $60\,\%$.

• Tra coloro che non superano la teoria al primo tentativo (e la superano in tentativi successivi), la probabilità di superare la pratica al primo tentativo è del $40\,\%$.

1. a) Modella il processo descrivendo le fasi dell'esperimento composto e le probabilità assegnate a ciascun ramo.
2. b) Se si sceglie un candidato a caso, calcola la probabilità che superi sia l'esame teorico sia quello pratico al primo tentativo.
3. c) Calcola la probabilità totale che un candidato scelto a caso superi l'esame pratico al primo tentativo, indipendentemente dal fatto che abbia superato la teoria al primo tentativo o abbia avuto bisogno di più tentativi. Spiega perché è necessario sommare le probabilità di due percorsi diversi dell'albero.

Un test medico per individuare una malattia ha le seguenti caratteristiche: se una persona è malata, il test risulta positivo nel $95\%$ dei casi. Se la persona è sana, il test risulta positivo (falso positivo) nel $3\%$ dei casi. Si sa che il $2\%$ della popolazione è affetto da questa malattia. Se si sceglie una persona a caso e le si fa il test, qual è la probabilità che il risultato sia positivo?

Due squadre di e-sport, Alpha e Beta, giocano la finale di un torneo al meglio delle tre partite (la prima che vince due partite viene proclamata campione). La probabilità che Alpha vinca una partita è $0,6$ e quella che vinca Beta è $0,4$ (non ci sono pareggi). I risultati delle partite sono indipendenti. Calcola la probabilità che la squadra Alpha vinca il torneo.

Un'urna contiene $x$ palline bianche e $5$ palline nere. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le palline siano bianche è $\frac{1}{6}$, imposta un'equazione di secondo grado e determina il numero iniziale di palline bianche $x$ presenti nell'urna.

Lo schema seguente mostra un sistema di tubature con tre valvole $A$, $B$ e $C$. L'acqua scorre da sinistra a destra. Perché l'acqua arrivi alla fine, deve passare per la valvola $A$ oppure per il ramo inferiore che contiene le valvole $B$ e $C$ in serie. Le probabilità che le valvole siano aperte sono $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,9$. Sapendo che il funzionamento di ciascuna valvola è indipendente, calcola la probabilità che l'acqua riesca ad attraversare il sistema.

In un congresso internazionale, il $40\%$ dei partecipanti è europeo e il $60\%$ è americano. Si sa che il $30\%$ degli europei e il $20\%$ degli americani sono bilingui. Se selezioniamo due partecipanti a caso con reinserimento, qual è la probabilità che esattamente uno dei due sia bilingue?

Si estraggono carte da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) una alla volta e senza reinserimento, finché non compare il primo Asso. L'esperimento termina nel momento in cui esce un Asso o quando sono state estratte al massimo $3$ carte. Calcola la probabilità che l'esperimento termini avendo trovato un Asso.

Si lancia un dardo al bersaglio in figura, formato da due cerchi concentrici di raggi $R$ e $2R$. Il dardo colpisce sempre il bersaglio e la probabilità di colpire una regione è proporzionale alla sua area. Se si lanciano due dardi in modo indipendente, calcola la probabilità che un dardo cada nella zona centrale (A) e l'altro nella zona esterna (B).

Abbiamo due urne. L'urna $U_1$ contiene $2$ palline rosse e $2$ palline nere. L'urna $U_2$ è inizialmente vuota. Si estraggono contemporaneamente due palline da $U_1$ e si inseriscono in $U_2$. Poi si estrae una pallina a caso da $U_2$. Calcola la probabilità che la pallina estratta da $U_2$ sia rossa.

In un cassetto ci sono esattamente $10$ calzini identici al tatto: $n$ sono di colore blu e i restanti $10 - n$ sono di colore grigio. Una persona estrae al buio e consecutivamente due calzini senza reinserimento.

Sapendo che la probabilità che i due calzini estratti siano di colore diverso è esattamente uguale a $\frac{8}{15}$:

1. a) Modella l'esperimento come un evento composto da due fasi consecutive e scrivi l'espressione algebrica di tale probabilità in funzione di $n$.
2. b) Imposta un'equazione a partire dal dato noto e risolvi algebricamente per trovare il valore di $n$, così da determinare quanti calzini blu possono esserci nel cassetto.
3. c) Interpreta il fatto di ottenere due soluzioni matematiche diverse: perché ha pieno senso logico nel contesto fisico del problema che esistano due valori validi per $n$?

Un museo protegge una scultura di valore mediante un sistema di sicurezza composto da due sensori indipendenti: una barriera perimetrale a infrarossi (Sensore A) e una base a pressione sotto il piedistallo (Sensore B). In caso di intrusione reale, il Sensore A si attiva con probabilità $0,90$, mentre il Sensore B si attiva con probabilità $0,85$.

L'azienda di sicurezza propone due possibili configurazioni tecniche per far scattare l'allarme generale:

• Configurazione in parallelo (ridondante): l'allarme suona se si attiva almeno uno dei due sensori.

• Configurazione in serie (restrittiva): l'allarme suona solo se si attivano entrambi i sensori contemporaneamente (pensata per ridurre al minimo i falsi allarmi provocati da correnti d'aria o polvere).

1. a) Modella la configurazione in parallelo mediante eventi composti e calcola la probabilità che l'allarme suoni se entra un intruso (usa la regola del prodotto con gli eventi complementari).
2. b) Modella la configurazione in serie e calcola la sua probabilità di attivazione in caso di intrusione.
3. c) La direzione del museo è indecisa tra mantenere la configurazione in parallelo o sostituire l'intero impianto con un unico sensore laser di ultima generazione la cui affidabilità di rilevamento individuale è del $0,96$. Sulla base dei tuoi calcoli precedenti, giustifica matematicamente quale opzione offre maggiore protezione reale contro i furti e argomenta quale inconveniente operativo presenta il sistema più sensibile rispetto ai falsi allarmi.