Esercizi: Proprietà delle potenze

Esprimi come un'unica potenza di base $5$ applicando le proprietà delle potenze: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Calcola il valore della seguente potenza ed esprimi il risultato sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Riduci a una sola potenza usando le proprietà opportune: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Scrivi come un'unica potenza applicando le proprietà delle operazioni con potenze aventi lo stesso esponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Semplifica la seguente espressione algebrica lasciando il risultato con esponenti positivi: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Trova il valore dell'esponente $x$ affinché valga la seguente uguaglianza: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.

Esprimi il numero $\frac{1}{128}$ come potenza di base $2$ usando un esponente negativo.

Indica se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta mediante le proprietà delle potenze: «Il doppio di $2^8$ è $4^8$».

Matteo deve semplificare l'espressione $2^4 \cdot 5^4$. Nella sua verifica scrive il seguente procedimento:

e giustifica la risposta dicendo: «Moltiplico le basi ($2 \cdot 5 = 10$) e sommo gli esponenti ($4 + 4 = 8$)».

1. a) Spiega in dettaglio perché il ragionamento di Matteo contraddice il significato di potenza come prodotto ripetuto di fattori e quale regola ha confuso per errore.
2. b) Correggi l'esercizio applicando la proprietà adeguata e calcola il valore numerico finale.

Prima di fare qualsiasi calcolo con carta e penna, stima quale di questi due numeri ritieni sia maggiore: $A = 2^{30}$ o $B = 3^{20}$. Giustifica brevemente la tua intuizione iniziale tenendo conto che $A$ ha esponente maggiore ma base minore rispetto a $B$.

Poi verifica la tua previsione in modo rigoroso senza calcolatrice: usa la proprietà della potenza di una potenza, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, per riscrivere entrambi i numeri in modo che abbiano lo stesso esponente esterno e concludi quale sia maggiore.

Semplifica la seguente espressione scomponendo prima in fattori le basi e applicando le proprietà delle potenze. Esprimi il risultato come prodotto di potenze di basi prime: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.

Una voce in una scuola si diffonde raddoppiando ogni ora il numero di persone che la conoscono. Se inizialmente la conoscono $1000$ persone, esprimi sotto forma di prodotto con una potenza il numero di persone che la conosceranno dopo $12$ ore e calcola il suo valore finale.

Una sostanza radioattiva riduce la sua massa a un terzo ogni giorno che passa. Se oggi abbiamo un campione di $81$ grammi, esprimi mediante una potenza di base $3$ la quantità di sostanza che rimarrà tra $6$ giorni e calcola il risultato.

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, usando le proprietà delle potenze e lasciando il risultato senza esponenti negativi: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Un'azienda di imballaggi produce scatole di forma cubica. Se decidono di triplicare la lunghezza dello spigolo di una scatola standard, per quale fattore risulterà moltiplicato il suo volume? Esprimi il tuo ragionamento usando le proprietà della potenza di un prodotto.

Senza usare la calcolatrice, determina quale delle seguenti quantità è maggiore: $3^{50}$ o $9^{20}$. Giustifica la risposta trasformando una delle potenze in modo che entrambe abbiano la stessa base.

Risolvi la seguente equazione esponenziale esprimendo tutti i termini come potenze della stessa base e operando con i loro esponenti: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.

Un capitale viene investito a interesse composto annuo in modo tale che ogni anno il denaro si moltiplica per $1,05$. Se l'investimento iniziale è di $2000$ €, scrivi in forma di potenza l'espressione che calcola il capitale dopo $t$ anni. Quanto denaro ci sarà dopo $4$ anni?

Per semplificare l'espressione $\frac{6^6}{2^4 \cdot 3^4}$, due studenti propongono strade diverse:

• Elena raggruppa prima i fattori del denominatore applicando la proprietà delle potenze con lo stesso esponente.

• Paolo scompone la base del numeratore in fattori primi e applica la potenza di un prodotto.

1. a) Svolgi la semplificazione passo dopo passo seguendo il metodo di Elena e, successivamente, quello di Paolo.
2. b) Confronta i due procedimenti: quale risulta più rapido e con meno rischio di errore in questo caso? La tua scelta del metodo cambierebbe se l'espressione iniziale fosse $\frac{6^6}{2^4 \cdot 3^5}$? Giustifica la tua risposta.

L'Istituto Nazionale di Cybersicurezza, con sede a Torino, analizza un protocollo di diffusione di avvisi urgenti nelle scuole. In una fase iniziale ($n = 0$) l'allerta viene inviata alla dirigenza della scuola. In ogni fase successiva $n$, il numero di nuovi destinatari informati cresce in modo esponenziale secondo l'espressione $2^n$.

1. a) Se nella fase $n+3$ il numero di nuovi destinatari supera di $112$ persone quello della fase $n$, imposta l'equazione corrispondente.
2. b) Risolvi tale equazione raccogliendo a fattor comune la potenza minore di base $2$ per determinare il valore della fase $n$.
3. c) Applicando soltanto il quoziente di potenze con la stessa base, calcola quante volte è maggiore il numero di nuovi destinatari nella fase $n+3$ rispetto alla fase $n$.

Semplifica la seguente espressione in cui gli esponenti dipendono dal parametro $n$, raccogliendo a fattor comune se necessario per poter operare: $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.

Il tappeto di Sierpinski è un frattale che si costruisce a partire da un quadrato. A ogni iterazione, ogni quadrato pieno viene diviso in $9$ quadrati uguali e si elimina quello centrale. Se l'area iniziale ($n=0$) è $1\text{ m}^2$, alla prima iterazione l'area rimanente è $\frac{8}{9}\text{ m}^2$. Esprimi l'area rimanente dopo $n$ iterazioni usando le potenze. Calcola l'area che rimarrà dopo $5$ iterazioni.

La legge empirica di Moore suggerisce che il numero di transistor in un microprocessore raddoppi approssimativamente ogni $2$ anni. Se nel 1970 un processore aveva $2000$ transistor, esprimi il numero di transistor nell'anno $1970 + t$ mediante una potenza di base $2$. Utilizza questa proprietà per stimare quanti transistor avrebbe un processore nel 2010.

Uno studente ha eseguito il seguente sviluppo algebrico per semplificare un'espressione:

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Individua se c'è qualche errore nel suo ragionamento, spiegalo in dettaglio e fornisci il risultato corretto applicando rigorosamente le proprietà delle potenze.

Trova i valori di $x$ e $y$ che soddisfano simultaneamente le seguenti uguaglianze, utilizzando le proprietà delle potenze per trasformare il sistema in un sistema di equazioni lineari:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$

In astrofisica, l'intensità della luce che riceviamo da una stella è inversamente proporzionale al quadrato della distanza a cui ci troviamo. Se ci allontaniamo a una distanza $4$ volte maggiore dalla stella, esprimi mediante una potenza di esponente negativo il fattore per cui si moltiplica l'intensità della luce originale. Se l'intensità iniziale era $I_0$, qual è la nuova intensità in funzione di $I_0$?

Semplifica la seguente espressione algebrica, dove $x$ e $y$ sono numeri reali diversi da zero e $a, b$ sono numeri interi positivi:

$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$

Applica le proprietà delle potenze con la stessa base ed esprimi il risultato finale utilizzando soltanto esponenti positivi.

Immagina di avere un foglio di carta di spessore $0,1\text{ mm}$. Ogni volta che pieghi il foglio a metà su se stesso, il suo spessore raddoppia. Esprimi lo spessore del foglio dopo $n$ piegature mediante una potenza. Se la distanza media della Terra dalla Luna è di circa $384\,000\text{ km}$, imposta un'equazione utilizzando potenze di $2$ per stimare quante piegature sarebbero necessarie affinché lo spessore della carta raggiunga la Luna (puoi stimare il valore sapendo che $2^{10} \approx 10^3$).

Costruisci un'espressione frazionaria della forma $\frac{a^x \cdot b^y}{c^z}$ che soddisfi simultaneamente queste quattro condizioni:

1. Le basi $a$, $b$ e $c$ sono numeri composti diversi appartenenti all'insieme $\{4, 6, 8, 9, 12\}$.

2. Gli esponenti $x$, $y$ e $z$ sono numeri interi diversi da zero e almeno uno di essi deve essere negativo.

3. Nessun esponente finale delle potenze può essere $0$.

4. Dopo aver scomposto le basi in fattori primi e applicato le proprietà delle potenze, la frazione ridotta ai minimi termini che si ottiene deve essere esattamente $\frac{3}{2}$.

Mostra l'intero processo deduttivo che hai seguito per trovare le basi e gli esponenti mediante le equazioni degli esponenti delle basi prime $2$ e $3$.

Durante una sessione di ripasso, Davide afferma: «Poiché $2 \cdot 5 = 10$, qualsiasi numero generato dall'espressione $2^{n+2} \cdot 5^n$, per qualsiasi intero positivo $n$, termina obbligatoriamente con due zeri, perché l'esponente del $2$ ha un $+2$».

1. a) Stima e calcola il valore dell'espressione per $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$. L'affermazione generale di Davide è corretta?
2. b) Trasforma algebricamente l'espressione $2^{n+2} \cdot 5^n$ mediante le proprietà delle potenze per scriverla nella forma $k \cdot 10^n$, dove $k$ sia un numero intero indipendente da $n$.
3. c) Basandoti sul tuo sviluppo del punto b), spiega qual è l'errore concettuale di Davide, quanti zeri ha in realtà il numero in funzione di $n$ e qual è sempre la sua prima cifra significativa.