Esercizi: Potenze con esponente intero

Calcola il valore numerico delle seguenti potenze con esponente negativo, esprimendo il risultato come frazione ridotta ai minimi termini o come numero intero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ e $(-1)^{-4}$.

Esprimi le seguenti potenze con base frazionaria usando un esponente positivo e poi calcola il loro valore esatto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ e $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.

Applica le proprietà della moltiplicazione di potenze con la stessa base per esprimere il risultato come un'unica potenza: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.

Semplifica la seguente espressione svolgendo le operazioni al numeratore e al denominatore, ed esprimi il risultato finale come un'unica potenza: $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.

Riduci la seguente espressione a una sola potenza applicando la proprietà della potenza di una potenza: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.

Usa la proprietà del prodotto di potenze con lo stesso esponente per esprimere il seguente calcolo come un'unica potenza: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.

Semplifica la seguente frazione esprimendo sia il numeratore sia il denominatore come potenze della stessa base prima, e dai il risultato come un'unica potenza: $\frac{8^4}{4^5}$.

Esegui le operazioni necessarie per esprimere il seguente prodotto come una sola potenza di base $3$: $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.

In una verifica di terza media, Sonia commette tre errori molto frequenti operando con potenze ad esponente intero:

1) Scrive che $(-3)^{-2} = -\frac{1}{9}$, ragionando che «il segno meno dell'esponente rende negativo il risultato finale».

2) Scrive che $5^{-1} = -5$, affermando che «elevare a $-1$ equivale a cambiare il segno del numero».

3) Scrive che $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$, sostenendo che «invertendo la frazione per eliminare l'esponente negativo, scompare anche il segno meno della base».

Per ciascuno dei tre casi:

1. a) Spiega qual è l'errore concettuale commesso da Sonia e quale proprietà ha applicato in modo scorretto.
2. b) Mostra lo svolgimento corretto passo dopo passo e calcola il risultato numerico finale come numero intero o frazione ridotta ai minimi termini.

Date le seguenti espressioni numeriche:

1. a) Senza calcolare prima il valore numerico esatto di nessuna di esse, fai una stima ragionata rispondendo a queste domande:

• Quali di queste potenze daranno un risultato strettamente maggiore di $1$?

• Quali daranno un risultato compreso tra $0$ e $1$?

• Qualcuna darà un risultato negativo? Giustifica la tua deduzione basandoti sul segno della base, sulla parità dell'esponente e sul significato dell'esponente negativo come inverso moltiplicativo.

1. b) Calcola ora il valore esatto di ciascuna sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini o di numero intero e verifica se le tue stime iniziali erano corrette.

Semplifica la seguente espressione, scomponendo prima in fattori le basi composte e applicando le proprietà delle potenze con esponente intero. Lascia il risultato come prodotto di potenze di numeri primi:

$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$

In un videogioco di strategia, il numero di soldati della tua fazione raddoppia ogni ora di partita. Se all'inizio della partita hai $150$ soldati, scrivi un'espressione matematica che usi le potenze per indicare il numero di soldati dopo $h$ ore. Quanti soldati ci saranno dopo $6$ ore?

In un laboratorio chimico si sta filtrando una sostanza tossica contenuta in un liquido. Ogni filtro installato nel circuito riduce la quantità di tossine a un terzo. Se la quantità iniziale di tossine è di $81$ grammi, esprimi con una potenza ad esponente negativo la quantità di tossina che rimane dopo il passaggio attraverso $5$ filtri successivi e calcola il suo valore esatto.

Calcola e semplifica al massimo la seguente espressione, esprimendo il risultato finale come frazione ridotta ai minimi termini:

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$

In una verifica di matematica, uno studente ha risolto un'operazione scrivendo che $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Spiega in dettaglio qual è stato l'errore concettuale dello studente, enuncia la proprietà corretta che avrebbe dovuto usare e calcola il risultato esatto sotto forma di frazione.

Un torneo di tennis si gioca a eliminazione diretta (in ogni partita chi perde è eliminato e chi vince passa al turno successivo). Se al primo turno partecipano $2^7$ giocatori, quante partite in totale saranno state giocate al termine del torneo, quando ci sarà un unico vincitore? Esprimi il tuo ragionamento usando operazioni con le potenze.

Semplifica la seguente espressione con frazioni ed esponenti negativi, applicando le proprietà passo dopo passo e dando il risultato finale come frazione ridotta ai minimi termini senza esponenti negativi:

$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$

Trova il valore del numero intero $x$ per cui vale la seguente equazione esponenziale, esprimendo tutti i termini come potenze della stessa base:

$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$

In una camera bianca dell'Istituto di Microelettronica di Milano, si monitora la presenza di impurità microscopiche che possono rendere inutilizzabili i microchip. Un sensore rileva una particella di polvere ambientale di tipo $X$ la cui massa è $2^{-8}\text{ mg}$, e una particella ultrafine di tipo $Y$ la cui massa è $8^{-3}\text{ mg}$.

1. a) Esprimi la massa dell'impurità $Y$ come un'unica potenza di base $2$ con esponente intero.
2. b) Quale delle due particelle ha massa maggiore? Giustifica la risposta ragionando sul significato di un esponente intero negativo, senza dover calcolare l'espressione decimale di nessuna delle due.
3. c) Quante impurità di tipo $Y$ servono esattamente per eguagliare la massa di una sola particella di tipo $X$? Imposta l'operazione come quoziente di potenze di base $2$, applica le proprietà delle potenze con esponente intero ed esprimi il risultato come numero intero.

Si vuole costruire un'uguaglianza matematica con la seguente struttura:

dove $a$ e $b$ devono essere numeri interi.

1. a) Scomponi le basi in fattori primi ($2$ e $3$) e usa le proprietà delle potenze con esponente intero per esprimere tutto il primo membro come una sola potenza di base $\frac{2}{3}$.
2. b) Scrivi la frazione del secondo membro $\frac{32}{243}$ come potenza di base $\frac{2}{3}$ con esponente intero.
3. c) A partire dai punti precedenti, ricava un'equazione lineare che $a$ e $b$ devono soddisfare. Poi trova due coppie di interi $(a, b)$ distinte che soddisfino l'uguaglianza, richiedendo che in almeno una di esse uno degli esponenti sia strettamente negativo.

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali diversi da zero. Applica le proprietà delle potenze e lascia il risultato finale espresso esclusivamente con esponenti positivi:

$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$

Un'azienda investe un capitale di $5000$ euro in un fondo di investimento che offre un interesse composto annuo del $4\%$. La formula matematica corretta per calcolare il capitale finale dopo $t$ anni è $C = 5000 \cdot (1,04)^t$. Se per un errore informatico il sistema calcola il capitale usando un esponente negativo, $C_{erroneo} = 5000 \cdot (1,04)^{-t}$, quale significato finanziario avrebbe questo calcolo errato? Inoltre, deduci quale relazione matematica esatta esiste tra il capitale corretto dopo $5$ anni e il capitale errato calcolato per gli stessi $5$ anni.

Risolvi la seguente equazione esponenziale. Per farlo, applica le proprietà delle potenze con esponente intero per separare le basi e raccogli a fattor comune:

$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$

Si costruisce un frattale geometrico chiamato «Triangolo di Sierpinski» partendo da un triangolo equilatero pieno di colore blu la cui area iniziale è $1$ unità. A ogni iterazione (passo), ogni triangolo blu viene diviso in quattro triangoli equilateri più piccoli e si elimina il triangolo centrale (che resta vuoto/nero). Osserva la figura che illustra i primi passi. Determina l'espressione matematica, in forma di potenza, che rappresenta l'area blu rimanente dopo $n$ iterazioni. A partire da tale espressione, qual è l'area blu esatta dopo $6$ iterazioni?

Dimostra matematicamente che, per qualsiasi numero reale $a \neq 0$ e qualsiasi numero intero $n$, vale l'identità $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Per la dimostrazione usa la definizione rigorosa di potenza con esponente negativo e le proprietà delle operazioni con le frazioni.

Semplifica la seguente espressione algebrica, in cui $m$ e $n$ sono numeri interi qualsiasi. Dopo aver semplificato, verifica e giustifica se il risultato finale dipende dai valori assunti da $m$ e $n$:

$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$

L'intensità di un fascio di luce che attraversa un certo tipo di vetro colorato si riduce a $\frac{3}{4}$ del suo valore incidente. Se sovrapponiamo $n$ di questi vetri identici, l'intensità della luce che riesce ad attraversarli è $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, dove $I_0$ è l'intensità iniziale. Esprimi la frazione di luce che si perde (non quella che riesce a passare) dopo aver attraversato $3$ vetri, usando potenze con esponente intero per i tuoi calcoli. Alla luce del risultato, determina se il sistema blocca più o meno della metà della luce originale.

Analizza e discuti con ragionamento il segno risultante dell'espressione matematica $(-a)^{-n}$ a seconda di due fattori: se il numero reale $a$ è strettamente positivo o negativo, e se il numero intero $n$ è pari o dispari. Elabora uno schema o una tabella con i quattro casi possibili che risultano da questa combinazione e accompagnalo con un esempio numerico concreto per ciascun caso.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per semplificare la seguente espressione algebrica:

(con $x \ne 0$ e $y \ne 0$), due studenti propongono due metodi di lavoro diversi:

• Metodo 1 (inversione iniziale): Riscrivere ogni potenza con esponente negativo portando i fattori dal numeratore al denominatore e viceversa ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), per operare solo con esponenti positivi fin dal primo passaggio.

• Metodo 2 (aritmetica diretta degli esponenti interi): Applicare direttamente la potenza di un prodotto e la potenza di una potenza moltiplicando gli esponenti con il loro segno, raggruppare le potenze con la stessa base sommando e sottraendo esponenti interi, ed esprimere con esponenti positivi solo alla fine, se richiesto.

1. a) Svolgi la semplificazione passo dopo passo usando il Metodo 2, mostrando esplicitamente le operazioni con i segni degli esponenti. Dai il risultato finale espresso solo con esponenti positivi.
2. b) Giustifica perché il Metodo 1, pur essendo matematicamente valido, risulta poco efficiente e comporta un rischio di errore molto maggiore in espressioni con potenze annidate come questa.
3. c) Modifica esclusivamente due degli esponenti numerici che compaiono nell'espressione originale $E$ in modo che il risultato finale della semplificazione sia esattamente $1$. Giustifica quali scegli e con quali valori li sostituisci.

Si considera la seguente funzione algebrica definita per qualsiasi esponente intero $n \in \mathbb{Z}$:

1. a) Dimostra formalmente che il valore numerico di $F(n)$ è costante (non dipende affatto dal valore di $n$, sia esso positivo, nullo o negativo). Per farlo, raccogli a fattor comune una potenza opportuna di base $3$ sia al numeratore sia al denominatore e semplifica. Esprimi la costante risultante come frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Uno studente afferma: «Se scegliamo $n = -100$, le potenze hanno esponenti molto negativi e quindi valgono praticamente zero; perciò $F(-100)$ dovrebbe tendere a zero e non valere quanto per $n = 5$». Confuta con precisione matematica questo argomento, distinguendo tra la grandezza assoluta dei termini e il rapporto relativo tra di essi.
3. c) Problema inverso: Trova quale valore intero positivo deve avere la base $b$ ($b > 1$) affinché l'espressione analoga:

assuma esattamente il valore numerico $\frac{5}{12}$ per ogni $n \in \mathbb{Z}$.