Esercizi: Parabola e risoluzione grafica

Data la funzione $f(x) = x^2 - 4x + 3$:

1. a) determina le coordinate del vertice;

1. b) scrivi l'equazione dell'asse di simmetria;

1. c) trova le intersezioni con gli assi cartesiani.

Data la parabola $y = -x^2 + 2x + 8$, stabilisci se rivolge la concavità verso l'alto o verso il basso, trova il vertice e le intersezioni con l'asse $x$.

Disegna per punti la parabola $y = x^2 - 2x - 3$ e usa il grafico per risolvere l'equazione $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Risolvi graficamente la disequazione $x^2 - 5x + 4 < 0$, tracciando la parabola associata e indicando l'insieme delle soluzioni. Verifica poi il risultato per via algebrica.

Determina l'equazione della parabola $y = ax^2 + bx + c$ che passa per i punti $A(0; 3)$, $B(1; 0)$ e $C(3; 0)$ e trova il suo vertice.

Un pallone viene calciato da un campo a Bologna e la sua altezza in metri dopo $t$ secondi è $h(t) = -5t^2 + 20t$.

1. a) Dopo quanti secondi il pallone raggiunge la massima altezza e quanto vale?

1. b) Dopo quanti secondi tocca di nuovo terra?

1. c) Per quanto tempo l'altezza supera $15$ m?

Data la parabola $y = x^2 - 4x + 5$ e la retta $y = x + k$, discuti graficamente e algebricamente, al variare di $k \in \mathbb{R}$, il numero di soluzioni reali dell'equazione $x^2 - 4x + 5 = x + k$.

Determina per quali valori del parametro $m$ la disequazione $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$. Giustifica il procedimento collegandolo alla posizione della parabola rispetto all'asse $x$.

Un rettangolo ha perimetro $40$ m.

1. a) Esprimi l'area in funzione della base $x$ e riconosci il tipo di funzione.

1. b) Determina le dimensioni del rettangolo di area massima, motivando con il vertice della parabola.

1. c) Per quali valori di $x$ l'area è almeno $75$ m$^2$?