Esercizi: Funzioni elementari e valore assoluto

Disegna il grafico della funzione $f(x) = |x|$ e di $g(x) = |x - 2|$. Descrivi come si ottiene il secondo dal primo.

Risolvi le seguenti equazioni con valore assoluto:

1. a) $|x - 3| = 5$

1. b) $|2x + 1| = 7$

1. c) $|x + 4| = -2$

Data la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{6}{x}$:

1. a) completa la tabella per $x = 1, 2, 3, 6, -2, -3$;

1. b) indica il dominio e il tipo di curva che rappresenta il grafico.

Risolvi l'equazione $|2x - 1| = x + 4$, discutendo i casi in cui l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo e verificando le soluzioni trovate.

Tre operai di una ditta di Torino impiegano $12$ giorni per terminare un lavoro. Supponendo che la velocità di lavoro sia uguale per tutti:

1. a) scrivi la funzione che dà il numero di giorni $g$ in funzione del numero di operai $n$;

1. b) calcola i giorni con $4$, $6$ e $9$ operai;

1. c) spiega perché è una proporzionalità inversa.

Una tariffa di un parcheggio a Padova prevede: $1$ € per la prima ora (anche se non completa), $2$ € per ogni ora successiva, con un massimo di $9$ € al giorno. Scrivi la funzione lineare a tratti che esprime il costo $c$ in funzione delle ore $t$ di sosta, per $0 < t \le 24$ (considera per semplicità sosta in ore intere) e disegnane il grafico.

Risolvi la disequazione $|x^2 - 4| \le 3x$ e interpreta il risultato dal punto di vista grafico, confrontando il grafico di $y = |x^2 - 4|$ con la retta $y = 3x$.

Data $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$:

1. a) riscrivila come funzione lineare a tratti;

1. b) disegna il grafico e determina il suo valore minimo;

1. c) discuti, al variare di $k$, il numero di soluzioni dell'equazione $f(x) = k$.

Determina le intersezioni tra l'iperbole $y = \frac{4}{x}$ e la retta $y = x + k$ al variare di $k$. Stabilisci per quali valori di $k$ la retta è tangente all'iperbole, motivando con il discriminante.