Esercizi: Posizione reciproca di due rette

Scrivi la posizione reciproca delle rette $r: y = 3x - 5$ e $s: y = -2x + 4$ giustificando la risposta a partire dai loro coefficienti angolari.

Determina la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 4y + 6 = 0$ e $s: -x + 2y - 3 = 0$ confrontando i loro coefficienti.

Calcola le coordinate del punto di intersezione delle rette incidenti $r: x + y - 4 = 0$ e $s: 2x - y - 5 = 0$.

Trova l'equazione esplicita della retta parallela a $r: y = -4x + 1$ che passa per il punto $P(0, 3)$.

Verifica se le rette date in forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ sono parallele o incidenti.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché le rette $r: 3x + ky - 2 = 0$ e $s: x - 2y + 5 = 0$ siano parallele.

Date le rette $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ e $s: 2x + y - 7 = 0$, studia la loro posizione reciproca confrontando i loro vettori direttori e verificando se un punto di $r$ appartiene a $s$.

Trova il punto di intersezione della retta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con l'asse delle ascisse (asse X).

Marco deve determinare in classe la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 3y + 6 = 0$ e $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Sul quaderno scrive:

«Calcolo il rapporto dei coefficienti: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Poiché il risultato è lo stesso, le due rette hanno esattamente gli stessi punti e quindi sono coincidenti».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Marco e spiega quale verifica ha dimenticato di fare.
2. b) Correggi la sua risoluzione determinando la posizione reciproca corretta mediante il criterio dei coefficienti.
3. c) Quale valore dovrebbe avere il termine noto della retta $s$ perché la conclusione di Marco fosse davvero corretta? Giustifica la risposta.

Data la retta $r: 3x - 4y + 12 = 0$:

1. a) Scrivi l'equazione generale di una retta $s$ parallela a $r$ e passante per l'origine delle coordinate $(0, 0)$. Giustifica il parallelismo confrontando i rapporti dei loro coefficienti.
2. b) Trova le coordinate del punto di intersezione della retta $r$ con l'asse delle ascisse ($y = 0$).
3. c) Scrivi l'equazione generale di una retta $t$ incidente a $r$ e la cui intersezione con essa sia esattamente quel punto di intersezione con l'asse delle ascisse. Spiega come hai scelto i coefficienti di $t$ per garantire che non sia parallela a $r$.

Due tubature principali di irrigazione in un campo coltivato seguono i percorsi delle rette $r: 5x + 3y - 15 = 0$ e $s: 2x - y + 5 = 0$. Scopri se si incrociano e, in caso affermativo, trova le coordinate esatte del punto di collegamento.

Una strada rettilinea segue l'equazione $2x - y + 4 = 0$. Un ripetitore telefonico si trova nel punto $P(5, 1)$. Trova l'equazione generale della linea di cablaggio più corta (che deve essere perpendicolare) che collega il ripetitore alla strada.

Nella pianta di un edificio, due muri portanti sono dati dalle equazioni $r: ax - 6y + 12 = 0$ e $s: 2x + by - 4 = 0$. Determina i valori di $a$ e $b$ affinché entrambi i muri rappresentino esattamente la stessa linea (rette coincidenti).

Una barca di soccorso si muove lungo la retta passante per i punti $A(-2, 1)$ e $B(4, 5)$. Una barca a vela segue la traiettoria data dalla retta $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Determina se le loro traiettorie sono parallele o se, al contrario, si incontrano in qualche punto.

Due barche navigano su traiettorie date dalle equazioni parametriche $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ e $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Verifica analiticamente se le loro rotte sono parallele o se navigano sulla stessa linea.

Calcola il valore del parametro $m$ affinché le rette $r: mx + 2y - 5 = 0$ e $s: 3x - y + 1 = 0$ siano perpendicolari.

In un programma di progettazione 3D, un laser taglia una lastra metallica lungo la retta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Trova l'equazione generale di un'altra retta di taglio, parallela alla precedente, che passi per il punto $Q(-1, 2)$.

Due comete seguono traiettorie rettilinee in un modello spaziale 2D. La prima passa per i punti $P(0, 4)$ e $Q(3, 0)$. La seconda ha equazione continua $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Verifica se le loro traiettorie si incrociano in qualche punto o se sono parallele.

Per stabilire la posizione reciproca delle rette $r: y = -\frac{3}{4}x + 2$ e $s: 6x + 8y - 5 = 0$, due studentesse propongono metodi diversi:

• Elena propone di trasformare la retta $r$ nella forma generale ($Ax + By + C = 0$) e di applicare direttamente il criterio di proporzionalità dei coefficienti ($\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$, $\frac{C_1}{C_2}$).

• Davide preferisce ricavare la variabile $y$ nell'equazione di $s$ per scriverla in forma esplicita ($y = mx + n$) e confrontare coefficienti angolari e ordinate all'origine.

1. a) Applica il metodo di Elena e concludi sulla posizione reciproca delle due rette.
2. b) Applica il metodo di Davide e verifica che si giunge alla stessa conclusione.
3. c) Confronta i due procedimenti: ragiona su quale dei due ritieni più diretto o con minor rischio di errori di calcolo (segni o frazioni) per questa specifica coppia di equazioni.

Considera le rette $r: 2x - y - 6 = 0$ e $s: x + y - 6 = 0$.

1. a) Senza risolvere il sistema algebrico, analizza il segno dei coefficienti angolari e ricava le intersezioni con gli assi coordinati di ciascuna retta. A partire da queste informazioni geometriche qualitative, stima in modo motivato in quale quadrante del piano cartesiano si troverà il punto di intersezione tra $r$ e $s$.
2. b) Verifica formalmente che sono rette incidenti usando la relazione tra i loro coefficienti e calcola le coordinate esatte del loro punto di intersezione risolvendo il sistema lineare.
3. c) Valuta se le coordinate ottenute confermano la tua stima iniziale e spiega perché prevedere il quadrante aiuta a individuare possibili errori di segno nel calcolo algebrico.

Tre strade formano un parco triangolare nel centro di una città. Le equazioni delle strade sono $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcola le coordinate esatte dei tre vertici del parco.

Discuti la posizione reciproca delle rette $r: kx + y - 3 = 0$ e $s: 4x + ky - 6 = 0$ al variare del parametro $k$.

Un robot aspirapolvere si muove lungo la traiettoria descritta dalla retta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Incontrando un ostacolo esattamente nel punto di intersezione con l'asse delle ordinate (asse Y), ruota di $90^{\circ}$ e prosegue in linea retta. Trova l'equazione generale della nuova traiettoria e il punto in cui intersecherà l'asse delle ascisse (asse X).

Trova le coordinate del punto simmetrico di $A(2, 5)$ rispetto alla retta $r: x - 2y + 3 = 0$.

I lati di un terreno a forma di quadrilatero giacciono sulle rette $r: 2x + y - 5 = 0$ e $s: x - 2y + 5 = 0$. Sapendo che uno dei vertici del terreno è il punto $P(4, 2)$ e che il recinto è un rettangolo perfetto, trova le equazioni generali delle rette che contengono gli altri due lati.

Calcola l'area del triangolo formato dalla retta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ con i due assi coordinati.

Date le rette $r: 2x - y + 4 = 0$ e $s: x + y - 1 = 0$, trova l'equazione esplicita di una retta parallela a $r$ che passi per il punto di intersezione di $s$ con l'asse delle ascisse.

Un raggio di luce segue la traiettoria della retta $r: x - y + 2 = 0$ e incide su uno specchio piano posto lungo l'asse X. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione rispetto alla normale, trova l'equazione generale della retta che descrive il raggio riflesso.

Il Consorzio dei Trasporti di una regione offre due opzioni di abbonamento mensile per viaggiare su una linea extraurbana:

• Opzione Frequente: una quota fissa di $15$ € al mese più $1,20$ € per ogni viaggio effettuato.

• Opzione Occasionale: senza quota fissa, con un costo di $2,20$ € per ogni viaggio effettuato.

1. a) Modella il costo mensile totale ($y$, in euro) in funzione del numero di viaggi effettuati al mese ($x$) per ciascuna opzione, esprimendo entrambe le relazioni come equazioni generali di rette ($Ax + By + C = 0$).
2. b) Giustifica analiticamente la posizione reciproca delle due rette a partire dal rapporto dei loro coefficienti. Trova le coordinate esatte del punto di intersezione e interpreta il suo significato pratico per un utente che deve scegliere quale abbonamento acquistare.
3. c) L'ente gestore prevede di sostituire l'Opzione Occasionale con una nuova tariffa la cui retta associata sia strettamente parallela a quella dell'Opzione Frequente. Quale prezzo esatto per viaggio dovrebbe fissare in questa nuova tariffa per ottenerlo? In tal caso sarebbe possibile che le due opzioni costassero lo stesso per qualche numero di viaggi? Motiva la risposta a partire dalle proprietà geometriche delle rette parallele.

Si considerano le rette $r: kx + 3y - 6 = 0$ e $s: 3x + ky - (k + 3) = 0$, dove $k$ è un parametro reale:

1. a) Discuti la posizione reciproca delle due rette al variare di $k$, distinguendo con chiarezza, mediante la proporzionalità dei coefficienti, quando sono incidenti, parallele o coincidenti.
2. b) Per il caso particolare $k = 1$, le rette sono incidenti. Calcola in modo esatto le coordinate del loro punto di intersezione e verifica algebricamente che tale punto appartiene a entrambe le rette.
3. c) Un compagno di classe sostiene la seguente affermazione: «Se due rette hanno la stessa direzione, si tratta necessariamente della stessa retta». Basandoti sulle conclusioni ottenute al punto a) per il valore $k = -3$, confuta in modo motivato la sua affermazione spiegando la differenza algebrica e geometrica tra rette parallele e coincidenti.