Esercizi: Fasci propri e impropri

Dato il fascio proprio di rette di equazione $y - 2 = m(x - 3)$, con $m \in \mathbb{R}$:

1. a) individua le coordinate del centro del fascio;

1. b) scrivi l'equazione della retta del fascio corrispondente a $m = 2$.

Scrivi l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta $y = -3x + 1$ e determina la retta del fascio che passa per il punto $P(2; 5)$.

Scrivi l'equazione del fascio proprio di rette con centro nel punto $C(-1; 4)$, escludendo la retta verticale. Trova poi la retta del fascio con coefficiente angolare $m = -\frac{1}{2}$.

Considera il fascio di rette $(k+1)x + (k-2)y + 3 - k = 0$, con $k \in \mathbb{R}$.

1. a) Scrivi l'equazione come combinazione lineare di due rette generatrici.

1. b) Determina il centro del fascio.

1. c) Trova la retta del fascio che passa per l'origine.

Nel piano cartesiano è dato il fascio di rette di equazione $(2k-1)x + (k+3)y - 4k + 2 = 0$.

1. a) Determina per quale valore di $k$ la retta è parallela all'asse $x$.

1. b) Determina per quale valore di $k$ la retta è parallela alla retta $y = x$.

1. c) Stabilisci se il fascio è proprio o improprio.

Una strada rettilinea di Firenze è rappresentata, in un sistema di riferimento in cui l'unità è 1 km, dalla retta $x + y - 6 = 0$. Un'antenna si trova nel punto $A(1; 1)$. Scrivi l'equazione del fascio di rette passanti per $A$ e determina la retta del fascio parallela alla strada e quella perpendicolare alla strada.

Date le rette $r: x - 2y + 1 = 0$ e $s: 2x + y - 7 = 0$, considera il fascio da esse generato.

1. a) Determina il centro del fascio.

1. b) Trova la retta del fascio che ha distanza massima dall'origine e giustifica la risposta.

1. c) Trova la retta del fascio che passa per il punto $P(0; 5)$.

Sia dato il fascio di rette $y = mx + 2m - 1$, con $m \in \mathbb{R}$.

1. a) Dimostra che il fascio è proprio e individua il suo centro $C$.

1. b) Determina le rette del fascio che formano con gli assi cartesiani un triangolo di area $4$ nel primo quadrante.

1. c) Spiega quale retta passante per $C$ non è rappresentata dall'equazione data.

Dato il triangolo $ABC$ con $A(0; 0)$, $B(6; 0)$, $C(2; 4)$, scrivi il fascio di rette di centro $C$. Determina le rette del fascio che dividono il triangolo in due parti di area uguale, giustificando il ragionamento.