Esercizi: Equazioni di secondo grado

Per ciascuna delle seguenti equazioni di secondo grado, individua i coefficienti $a$, $b$ e $c$ e indica se si tratta di un'equazione completa o incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Verifica, senza risolvere l'equazione, se i valori di $x$ proposti sono soluzione dell'uguaglianza $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete del tipo $ax^2 + c = 0$. Ricorda che se il risultato della radice quadrata non è un numero reale, devi indicarlo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante raccoglimento a fattor comune:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Applica la formula risolutiva $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ per trovare le soluzioni delle seguenti equazioni complete:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

L'area della base quadrata di una scatola per videogiochi è di $144\text{ cm}^2$. Calcola quanto misura il lato della base impostando un'equazione di secondo grado.

Calcola il valore del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ per ciascuna equazione e indica se ha due soluzioni, una soluzione doppia o nessuna soluzione reale (non è necessario calcolare le soluzioni):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Se al quadrato di un numero intero sommiamo il suo triplo, otteniamo come risultato zero. Di quali numeri potrebbe trattarsi? Imposta l'equazione e trova le possibili soluzioni.

Lucia deve risolvere in classe l'equazione incompleta $3x^2 - 12x = 0$. Il suo svolgimento alla lavagna è stato il seguente:

1.º) Poiché $x$ compare in entrambi i termini, divide i due membri per $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, da cui scrive $3x - 12 = 0$.

2.º) Isola l'incognita: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

Lucia conclude che l'equazione ha un'unica soluzione: $x = 4$. Individua e spiega dettagliatamente l'errore concettuale che ha commesso, argomenta perché non è matematicamente valido dividere per un'incognita senza precauzioni e risolvi correttamente l'equazione trovando tutte le sue soluzioni.

Costruisci, in ciascun caso, un'equazione di secondo grado che soddisfi le condizioni richieste (con tutti i termini raccolti nel primo membro e uguagliata a zero):

1. a) Un'equazione incompleta senza termine di primo grado ($b = 0$) il cui coefficiente quadratico sia $a = 2$ e le cui soluzioni siano $x = 3$ e $x = -3$.
2. b) Un'equazione incompleta senza termine noto ($c = 0$) il cui coefficiente quadratico sia $a = 2$ e le cui soluzioni siano $x = 0$ e $x = -5$.

Verifica in entrambi i casi la validità delle tue equazioni risolvendole con il metodo specifico adatto a ciascun tipo di equazione incompleta.

Risolvi la seguente equazione di secondo grado semplificando prima le espressioni algebriche mediante lo sviluppo dei prodotti notevoli:

Ricorda che per applicare la formula risolutiva, devi prima ridurre l'equazione alla forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Studia il discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) delle seguenti equazioni e determina, senza risolverle, quante soluzioni reali ha ciascuna. Giustifica la tua risposta in ogni caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Quale valore dovrebbe assumere il termine noto nell'equazione a) perché non abbia più soluzioni?

Un programmatore di videogiochi sta progettando un'interfaccia per una nuova applicazione. Deve creare un pulsante rettangolare la cui base sia $5\text{ cm}$ più lunga della sua altezza. Se l'area totale che il pulsante deve occupare sullo schermo è di $84\text{ cm}^2$, quali devono essere le dimensioni (base e altezza) del pulsante?

Imposta un'equazione di secondo grado e risolvila.

Il prodotto di due numeri naturali consecutivi è uguale alla loro somma aumentata di $19$ unità. Di quali numeri stiamo parlando?

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete utilizzando il metodo più rapido (raccoglimento a fattor comune o isolamento diretto della radice):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

Le equazioni biquadratiche si possono risolvere con un cambio di variabile $t = x^2$. Usa questa tecnica per trovare le quattro soluzioni reali della seguente equazione:

Data l'equazione di secondo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcola il valore del coefficiente $k$ sapendo che una delle soluzioni dell'equazione è $x = 3$. Una volta trovato $k$, determina l'altra soluzione dell'equazione.

Vogliamo collocare una cornice di legno di larghezza costante $x$ attorno a una fotografia rettangolare di $10\text{ cm}$ per $15\text{ cm}$. Se sappiamo che l'area totale (foto più cornice) deve essere di $300\text{ cm}^2$, qual è la larghezza $x$ della cornice?

Osserva la seguente equazione di secondo grado: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Descrivi due strategie algebriche diverse per risolverla: la prima, sviluppando il prodotto notevole, riducendo alla forma normale $ax^2 + bx + c = 0$ e applicando la formula risolutiva; la seconda, isolando la potenza quadratica $(2x - 1)^2$ e applicando la radice quadrata a entrambi i membri dell'uguaglianza.
2. b) Risolvi l'equazione usando la strategia che ritieni più diretta e con minor rischio di errori di calcolo, giustificando la tua scelta con argomenti matematici.

Il Comune di Bologna progetta un terreno rettangolare destinato a orti urbani comunitari. Le specifiche tecniche stabiliscono che la lunghezza del terreno deve misurare $6\text{ m}$ in più della sua larghezza e che la superficie coltivabile totale deve essere di $160\text{ m}^2$.

1. a) Assegna l'incognita $x$ alla larghezza del terreno, scrivi l'espressione algebrica della sua area e imposta l'equazione di secondo grado nella sua forma normale $ax^2 + bx + c = 0$.
2. b) Risolvi l'equazione per determinare le dimensioni (lunghezza e larghezza) dell'orto. Spiega dettagliatamente quale interpretazione geometrica ha ciascuna delle due soluzioni matematiche ottenute e perché scarti o conservi ciascuna di esse.

Risolvi la seguente equazione svolgendo prima i calcoli per semplificare i membri e utilizzando i prodotti notevoli dove necessario:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Un'impresa di progettazione paesaggistica vuole circondare una piscina rettangolare di $8 \text{ m}$ di lunghezza per $6 \text{ m}$ di larghezza con un bordo di prato sintetico di larghezza uniforme $x$. Se l'area totale del recinto (piscina più bordo di prato) deve essere esattamente di $80 \text{ m}^2$, calcola quanto deve misurare la larghezza $x$ del bordo.

Data l'equazione di secondo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina quali valori deve assumere il parametro $k$ affinché l'equazione abbia un'unica soluzione reale (soluzione doppia).

Un drone di sorveglianza decolla e segue una traiettoria la cui altezza in metri rispetto al tempo in secondi è data dall'espressione $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcola in quali istanti di tempo il drone si trova esattamente a $53 \text{ metri}$ di altezza.

Due stampanti 3D che lavorano insieme impiegano $2$ ore per completare un modellino complesso. Se lavorassero separatamente, la stampante più vecchia impiegherebbe $3$ ore in più della stampante nuova. Quanto tempo impiegherebbe ciascuna a realizzare il modellino da sola? (Suggerimento: ricorda che il lavoro svolto in un'ora è l'inverso del tempo totale).

Calcola le dimensioni di un triangolo rettangolo sapendo che i suoi lati sono tre numeri interi consecutivi.

Risolvi la seguente equazione. Per farlo, cerca il minimo comune multiplo dei denominatori per eliminare le incognite dai denominatori stessi e verifica che le soluzioni ottenute non annullino alcun denominatore:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Si dispone di un cavo lungo $40 \text{ cm}$ che viene tagliato in due pezzi per formare due quadrati diversi. Se la somma delle aree dei due quadrati è $58 \text{ cm}^2$, quanto misura il lato di ciascuno di questi quadrati?

Durante i festeggiamenti patronali di una località campana, viene lanciato verticalmente un razzo pirotecnico. L'altezza $h$ (in metri) da terra dopo $t$ secondi è descritta dalla formula $h = -5t^2 + 40t$. Il detonatore dell'artificio è programmato per esplodere in piena fase di salita raggiungendo esattamente $60\text{ m}$ di altezza.

1. a) Prima di operare formalmente, stima se il razzo impiegherà più o meno di $3\text{ secondi}$ per raggiungere tale altezza. A supporto della tua stima, valuta mentalmente o con semplici calcoli l'altezza del razzo a $t = 1\text{ s}$ e a $t = 2\text{ s}$.
2. b) Imposta l'equazione quadratica $h = 60$, riducila alla forma generale e risolvila mediante la formula risolutiva. Giustifica il significato fisico dei due valori di $t$ ottenuti, verifica se la tua stima iniziale era corretta e indica in quale secondo esatto avviene l'esplosione programmata.

Considera la famiglia di equazioni di secondo grado $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, dove $k$ è un numero reale costante.

1. a) Analizza che cosa succede se $k = 1$. Spiega se l'equazione risultante è ancora di secondo grado e trova la sua soluzione in questo caso particolare.
2. b) Supponendo che $k \neq 1$, calcola l'espressione del discriminante $\Delta$ in funzione di $k$. A partire da essa, deduci in modo motivato per quali valori di $k$ l'equazione avrà due soluzioni reali distinte, per quale valore avrà un'unica soluzione reale doppia e per quali non avrà alcuna soluzione reale.
3. c) Scegli un valore concreto di $k$ che non abbia soluzione reale secondo il tuo studio precedente, sostituiscilo nell'equazione originale e prova a risolverla con la formula per verificare quale ostacolo aritmetico compare.