Esercizi: Disequazioni in due incognite

Verifica quali dei seguenti punti sono soluzione della disequazione $3x - 2y \le 6$:

• $A(0, 0)$

• $B(4, 1)$

• $C(2, -1)$

• $D(-2, -5)$

Scrivi la disequazione lineare in due incognite la cui regione soluzione è rappresentata nel seguente grafico. Tieni conto se la retta di frontiera è continua o tratteggiata.

Rappresenta graficamente nel piano cartesiano la regione soluzione della disequazione $x + 2y > 4$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina se i punti $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ e $R(4, 0)$ appartengono alla regione ammissibile definita dal seguente sistema di disequazioni:

$x + y \le 5$

$2x - y > -1$

Traduci il seguente enunciato in una disequazione lineare in due incognite: "Il triplo del peso di una scatola grande ($x$) più il doppio del peso di una scatola piccola ($y$) non supera i $50$ kg".

Rappresenta graficamente il sistema di disequazioni che definisce il quarto quadrante del piano cartesiano (dove l'ascissa è positiva o nulla e l'ordinata è negativa o nulla).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la disequazione $4x - 5y < 20$, indica con ragionamento se i punti situati esattamente sulla retta $4x - 5y = 20$ fanno parte della regione soluzione.

Scrivi il sistema di disequazioni la cui soluzione è la striscia verticale compresa tra $x = -2$ e $x = 3$, includendo entrambe le frontiere.

Lucia deve risolvere la disequazione $2x - y < 0$. Sul suo quaderno scrive quanto segue:

«Passo 1: Disegno la retta continua di equazione $2x - y = 0$.

Passo 2: Siccome il punto $(0, 0)$ è il più facile da sostituire, verifico se soddisfa la disuguaglianza: $2\cdot 0 - 0 < 0 \implies 0 < 0$.

Passo 3: Siccome $0 < 0$ è falso, coloro il semipiano in cui non si trova il punto $(0, 0)$».

Individua i due errori concettuali commessi da Lucia, spiega perché il suo ragionamento è sbagliato e descrivi come va corretto l'esercizio scegliendo un punto di prova adeguato.

Per determinare quale semipiano corrisponde alla soluzione della disequazione $y > -3x + 6$, due compagni di classe discutono su quale metodo usare:

• Carlo afferma: «Poiché la variabile $y$ è già isolata con coefficiente positivo e il segno è $>$, il semipiano soluzione è formato obbligatoriamente da tutti i punti situati sopra la retta, quindi non serve verificare nessun punto».

• Alba risponde: «È più sicuro usare sempre il punto $(0, 0)$, sostituirlo nella disuguaglianza originale e colorare il lato corrispondente a seconda che sia vera o falsa».

1. a) Applica entrambi i metodi a questa disequazione e verifica se portano alla stessa regione.
2. b) Analizza che cosa accadrebbe con il metodo diretto di Carlo se la disequazione di partenza fosse $-2y > 6x - 12$. Quale precauzione matematica obbligatoria richiede il suo metodo rispetto all'apparente sicurezza del metodo del punto di prova?

Per organizzare una festa, si comprano bottiglie di bibita a $2$ € l'una e buste di snack a $3$ € l'una. Se il budget massimo è di $30$ € e si desidera comprare almeno un'unità di ciascun prodotto, imposta il sistema di disequazioni corrispondente e indica due possibili combinazioni di acquisto valide.

Trova il sistema di disequazioni che definisce la regione colorata nel seguente grafico:

Rappresenta graficamente la regione ammissibile determinata dal seguente sistema di disequazioni:

$2x + y \le 6$

$x - y \ge -1$

$y \ge 0$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una verifica di $20$ domande, ogni risposta esatta vale $2$ punti e ogni errore toglie $1$ punto. Se per essere sufficienti occorre ottenere almeno $15$ punti, imposta la disequazione che mette in relazione il numero di risposte esatte ($x$) e il numero di errori ($y$). Tenendo conto che $x \ge 0$, $y \ge 0$ e $x+y \le 20$, rappresenta graficamente la regione delle possibili combinazioni per essere sufficienti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta il seguente sistema di disequazioni e descrivi a parole la forma geometrica della regione soluzione:

$3x - y > 2$

$3x - y < 6$

Un laboratorio produce biciclette e triciclli. Ogni bicicletta richiede $2$ ruote e ogni triciclo $3$ ruote. In magazzino restano $60$ ruote. Inoltre, si sa che il numero di biciclette prodotte deve essere almeno il doppio di quello dei tricicli. Imposta il sistema di disequazioni che modellizza questa situazione.

Trova i valori del parametro $k$ per i quali il punto $A(-1, 4)$ appartiene alla regione soluzione della disequazione $kx - 2y \le 3$.

Rappresenta graficamente la soluzione della disequazione di secondo grado in due incognite $y \ge x^2 - 4x + 3$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un centro sportivo comunale offre abbonamenti mensili che combinano sedute di nuoto ($x$, a $4$ € l'una) e sedute in sala pesi ($y$, a $6$ € l'una). L'abbonamento richiede di non superare un budget mensile di $48$ € ($4x + 6y \le 48$), di partecipare ad almeno $3$ sedute di nuoto ($x \ge 3$) e di svolgere almeno $2$ sedute in sala pesi ($y \ge 2$).

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cosa, stima in modo intuitivo se un utente potrebbe sottoscrivere $7$ sedute di nuoto e $4$ sedute in sala pesi con questo abbonamento. Giustifica la tua previsione.
2. b) Verifica algebricamente se la combinazione stimata $(7, 4)$ appartiene alla regione ammissibile.
3. c) Calcola analiticamente le coordinate dei tre vertici del poligono che delimita la regione ammissibile e determina qual è il numero massimo di sedute totali (nuoto più sala pesi) che questo abbonamento permette di svolgere.

Una regione del piano forma un trapezio chiuso i cui vertici sono i punti $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ e $D(1, 4)$, essendo inclusi sia i suoi quattro lati sia tutta l'area interna.

1. a) Ricava l'equazione di ciascuna delle quattro rette che formano i lati del trapezio.
2. b) Scrivi il sistema di disequazioni lineari in due incognite la cui soluzione grafica sia esattamente questo recinto.
3. c) Utilizza un punto interno evidente (per esempio, il punto $(2, 2)$) per giustificare analiticamente perché hai scelto il verso della disuguaglianza in ciascuna delle quattro disequazioni.

Un'azienda di trasporti dispone di camion di tipo A (capacità di $3$ tonnellate) e camion di tipo B (capacità di $5$ tonnellate). Devono trasportare almeno $45$ tonnellate di merce. Per vincoli di personale, non possono usare più di $12$ camion in totale. Imposta il sistema di disequazioni e verifica analiticamente se è possibile effettuare il trasporto usando $4$ camion di tipo A e $7$ di tipo B.

Determina il sistema di disequazioni che definisce la regione limitata mostrata nella seguente figura:

Rappresenta graficamente la regione del piano definita dal seguente sistema misto (una disequazione quadratica e una lineare):

$y \le -x^2 + 2x + 3$

$x - y \le 1$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una fattoria si allevano galline e maiali. Si sa che il numero massimo di animali che la fattoria può ospitare è $100$. Inoltre, per ragioni di redditività, il numero di maiali non può superare la terza parte del numero di galline, e deve esserci almeno $10$ maiale. Imposta il sistema di disequazioni e rappresentalo graficamente per trovare la regione delle possibili combinazioni.

Dato il sistema di disequazioni:

$x + 2y \le 7$

$ax - y \ge 1$

Calcola il valore del parametro $a$ affinché il punto $P(3, 2)$ sia un vertice della regione ammissibile (cioè si trovi esattamente nell'intersezione delle due rette di frontiera).

Un agricoltore vuole piantare pomodori e peperoni in un appezzamento di $500 \text{ m}^2$. Per ogni metro quadrato di pomodori ha bisogno di $4$ litri d'acqua a settimana, e per ogni metro quadrato di peperoni ha bisogno di $3$ litri. Dispone di una cisterna che gli fornisce al massimo $1800$ litri a settimana. Se per motivi commerciali deve dedicare almeno $100 \text{ m}^2$ ai pomodori e almeno $50 \text{ m}^2$ ai peperoni, imposta il sistema di disequazioni e verifica se può piantare $250 \text{ m}^2$ di ciascun ortaggio.

Scrivi un sistema di disequazioni la cui soluzione sia un quadrato centrato nell'origine del sistema di coordinate, di lato $4$ unità, con i lati paralleli agli assi cartesiani e in cui i punti del bordo siano inclusi.

Risolvi graficamente il seguente sistema e trova analiticamente le coordinate dei vertici della regione ammissibile:

$y \le 2x + 2$

$y \le -x + 5$

$y \ge 1$

Una cooperativa olearia della Puglia commercializza due formati di olio extravergine di oliva: taniche familiari da $5$ litri ($x$) e bottiglie gourmet da $1$ litro ($y$). Per la campagna natalizia si stabiliscono le seguenti restrizioni operative:

• Il volume totale di olio destinato a questi due formati non può superare i $1\,500$ litri.

• A causa dei limiti di fornitura del vetro, si dispone di materiale per imbottigliare al massimo $600$ bottiglie gourmet.

• Per garantire la redditività, il volume totale confezionato in taniche deve essere almeno il triplo del volume totale confezionato in bottiglie gourmet.

• Si richiede di preparare almeno una tanica ($x \ge 1$) e almeno una bottiglia ($y \ge 1$).

1. a) Modella il problema mediante un sistema di disequazioni lineari in due incognite, prestando particolare attenzione a come esprimere algebricamente la condizione che confronta i volumi confezionati.
2. b) Determina analiticamente i vertici della regione ammissibile e indica, motivando, se si tratta di una regione limitata o illimitata.
3. c) Verifica se la cooperativa può soddisfare integralmente un ordine di $220$ taniche e $350$ bottiglie gourmet rispettando tutti i criteri precedenti.

Il lucernario superiore di una serra è progettato in un piano cartesiano (con misure in metri) mediante una regione vetrata compresa tra una curva parabolica e una trave rettilinea:

1. Il bordo superiore è una parabola con vertice in $(0, 4)$ che interseca l'asse orizzontale in $(-2, 0)$ e $(2, 0)$. Il telaio di questa parabola fa parte della zona vetrata.

2. Il bordo inferiore è una retta che unisce i punti $(-2, 0)$ e $(1, 3)$, ma per motivi di dilatazione strutturale questa linea di divisione non include il vetro (frontiera tratteggiata).

3. La zona trasparente si trova strettamente al di sopra di tale retta e al di sotto o sulla parabola.

1. a) Deduci algebricamente l'equazione della parabola $y = ax^2 + c$ e l'equazione esplicita della retta di frontiera.
2. b) Scrivi il sistema di disequazioni che delimita la zona con vetro, distinguendo con precisione i simboli di disuguaglianza stretta e non stretta.
3. c) Trova analiticamente i due punti di intersezione in cui le due frontiere si incontrano e stabilisci formalmente se il punto $(0, 2)$ appartiene o no alla zona vetrata.

Sfida del tema. Diventa il revisore energetico di casa tua!

Fase 1. Dati reali: Prendi l'ultima bolletta della luce di casa tua (o consulta il prezzo medio del kWh sul sito di ARERA). Annota il costo fisso per la potenza impegnata, il prezzo del kWh e la spesa totale.

Fase 2. Modellizzazione:

1. Imposta e risolvi un sistema lineare per calcolare il consumo esatto in fascia di punta e di valle conoscendo l'importo della spesa per l'energia (spesa totale meno costi fissi) e il rapporto tra i due consumi.

2. Modella il costo medio unitario mediante un'equazione razionale del tipo $y = \frac{k}{x} + c$ e calcola, risolvendo una disequazione in un'incognita, a partire da quale consumo $x$ il costo medio scende sotto una soglia fissata.

3. Imposta una disequazione in due incognite che limiti l'uso di due elettrodomestici per non superare una spesa extra di $25,5$ €. Rappresenta in GeoGebra la regione ammissibile.

Fase 3. Proposta: Risolvi un problema con un'equazione di secondo grado che determini le dimensioni di un pannello solare rettangolare la cui lunghezza superi di $0,5$ m la larghezza, coprendo una superficie minima di $1,5$ m². Raccogli tutto in una breve relazione con le tue schermate di GeoGebra e le conclusioni sul risparmio.

Verrà valutato:

• Correttezza analitica nella risoluzione di equazioni, disequazioni e sistemi.

• Rigore nell'uso di dati reali e precisione della regione ammissibile in GeoGebra.

• Coerenza e giustificazione della proposta di risparmio nella relazione finale.