Conjuntos, aplicaciones y demostraciones
Un compañero afirma: «Si $n^2$ es impar, $n$ es impar. Lo he comprobado con $n=1,3,5,7$». ¿Es una demostración? No: comprobar casos no prueba una afirmación para todos los enteros. En álgebra lineal casi todo son enunciados «para todo» o «existe», sobre conjuntos y aplicaciones. Aquí aprendes el lenguaje preciso y las tres técnicas con las que se demuestra casi todo lo que viene después.
Conjuntos y cuantificadores
Para $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,3,4\}$, calcula $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.
Para $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,3,4\}$, calcula $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.
Niega con precisión la proposición: «Para todo $x\in\mathbb R$ existe $y\in\mathbb R$ tal que $y^2=x$». Decide cuál de ambas proposiciones es verdadera.
Niega con precisión la proposición: «Para todo $x\in\mathbb R$ existe $y\in\mathbb R$ tal que $y^2=x$». Decide cuál de ambas proposiciones es verdadera.
Aplicaciones: inyectividad y sobreyectividad
Aquí $f(2)=f(3)=b$ (no inyectiva) y $c$ no recibe flecha (no sobreyectiva).
Sea $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}$ con $f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b$. Determina si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. El diagrama recoge las imágenes dadas de cada elemento.
Sea $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}$ con $f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b$. Determina si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
El diagrama recoge las imágenes dadas de cada elemento.
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ inyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es inyectiva.
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ inyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es inyectiva.
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Demuestra que si $g\circ f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva. Da un ejemplo en que $f$ no sea sobreyectiva y $g$…
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Demuestra que si $g\circ f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva. Da un ejemplo en que $f$ no sea sobreyectiva y $g$ no sea inyectiva.
Imagen y preimagen de conjuntos
Con $f(x)=x^2$: $f([-2,1])=[0,4]$ (el mínimo se alcanza en $0$ y el máximo en $-2$), y $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]$, porque tanto $x$ como $-x$ llegan al mismo valor.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$. Calcula $f([-2,1])$ y $f^{-1}([1,4])$, donde $f^{-1}$ denota preimagen de conjuntos.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$. Calcula $f([-2,1])$ y $f^{-1}([1,4])$, donde $f^{-1}$ denota preimagen de conjuntos.
Demuestra $f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$ para $f:A\to B$ y $U,V\subseteq B$.
Demuestra $f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$ para $f:A\to B$ y $U,V\subseteq B$.
Para $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, comprueba con $A=\{-1\}$ y $B=\{1\}$ que puede fallar $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. Explica la inclusión que siempre se cumple.…
Para $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, comprueba con $A=\{-1\}$ y $B=\{1\}$ que puede fallar $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. Explica la inclusión que siempre se cumple.
El esquema permite comparar las preimágenes con su imagen común.
Demostración directa y por contraposición
Volvamos al compañero del principio: probar casos sueltos no demuestra nada. Hace falta un argumento válido para un entero arbitrario.
Demuestra directamente que la suma de dos enteros impares es par.
Demuestra directamente que la suma de dos enteros impares es par.
Demuestra por contraposición que, si $n^2$ es impar para $n\in\mathbb Z$, entonces $n$ es impar.
Demuestra por contraposición que, si $n^2$ es impar para $n\in\mathbb Z$, entonces $n$ es impar.
Inducción
Demuestra por inducción que $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ para todo entero $n\ge1$.
Demuestra por inducción que $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ para todo entero $n\ge1$.
Demuestra por inducción que $2^n\ge n+1$ para todo entero $n\ge0$ e identifica los casos de igualdad.
Demuestra por inducción que $2^n\ge n+1$ para todo entero $n\ge0$ e identifica los casos de igualdad.
Equivalencia y caracterizaciones
Demuestra que una aplicación $f:A\to B$ es inyectiva si y solo si $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$ para todos $U,V\subseteq A$.
Demuestra que una aplicación $f:A\to B$ es inyectiva si y solo si $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$ para todos $U,V\subseteq A$.
Una relación en $\mathbb R^2$ se define por $(x,y)\sim(u,v)$ si $x-y=u-v$. Demuestra que es de equivalencia y describe geométricamente la clase de $(2,1)$.
Una relación en $\mathbb R^2$ se define por $(x,y)\sim(u,v)$ si $x-y=u-v$. Demuestra que es de equivalencia y describe geométricamente la clase de $(2,1)$.