Representación matricial y cambio de bases
Un sistema de control gira y escala la señal de un sensor; el mismo dispositivo se describe con una matriz según los ejes del laboratorio y con otra según los ejes del propio sensor. ¿Son dos transformaciones distintas o la misma vista desde dos bases? Aquí aprenderás a escribir la matriz de una aplicación lineal respecto de cualquier par de bases y a pasar de una descripción a otra.
La matriz de una aplicación lineal
Con las bases usuales basta leer las imágenes de $e_1,\dots,e_n$.
Escribe la matriz usual de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(3x-2y,x+4y)$ y comprueba su acción sobre $(1,2)$.
Escribe la matriz usual de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(3x-2y,x+4y)$ y comprueba su acción sobre $(1,2)$.
Una aplicación lineal $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ satisface $T(e_1)=(1,0)$, $T(e_2)=(2,-1)$ y $T(e_3)=(0,3)$. Escribe su matriz y calcula $T(2,-1,1)$.
Una aplicación lineal $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ satisface $T(e_1)=(1,0)$, $T(e_2)=(2,-1)$ y $T(e_3)=(0,3)$. Escribe su matriz y calcula $T(2,-1,1)$.
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ y sean $B,C$ bases del dominio y codominio. ¿Qué tamaño tiene $[T]{C\leftarrow B}$ y qué representa cada columna?
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ y sean $B,C$ bases del dominio y codominio. ¿Qué tamaño tiene $[T]_{C\leftarrow B}$ y qué representa cada columna?
Bases no usuales: polinomios, matrices y complejos
La definición vale para cualquier espacio de dimensión finita: hay que expresar cada $T(v_j)$ en las coordenadas de la base de llegada.
Halla la matriz de $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$ respecto de las bases $(1,x,x^2)$ y $(1,x)$.
Halla la matriz de $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$ respecto de las bases $(1,x,x^2)$ y $(1,x)$.
En $M_2(\mathbb R)$ ordena la base como $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$. Obtén la matriz del operador transposición.
En $M_2(\mathbb R)$ ordena la base como $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$. Obtén la matriz del operador transposición.
Calcula la matriz de multiplicar por $1+i$ en $\mathbb C$ visto como espacio real con base $(1,i)$. Relaciona el determinante con el factor de cambio de áreas en el…
Calcula la matriz de multiplicar por $1+i$ en $\mathbb C$ visto como espacio real con base $(1,i)$. Relaciona el determinante con el factor de cambio de áreas en el plano.
Sea $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $T(p)=(p(0),p'(1))$. Halla la matriz usando $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ en el dominio y la base usual en el codominio.
Sea $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $T(p)=(p(0),p'(1))$. Halla la matriz usando $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ en el dominio y la base usual en el codominio.
Matrices de transformaciones geométricas
Un endomorfismo del plano se entiende mirando qué hace con la base. La reflexión respecto del eje $x$ fija $e_1$ y envía $e_2$ en $-e_2$.
La matriz usual es $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, y $(2,3)\mapsto(2,-3)$.
Escribe la matriz usual de la reflexión del plano respecto del eje $x$ y comprueba el efecto sobre $(2,3)$. El eje resaltado es la recta respecto de la cual actúa la…
Escribe la matriz usual de la reflexión del plano respecto del eje $x$ y comprueba el efecto sobre $(2,3)$.
El eje resaltado es la recta respecto de la cual actúa la reflexión.
Para $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T(p)(x)=p(x+1)$, obtén la matriz en la base usual de polinomios y decide si es invertible.
Para $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T(p)(x)=p(x+1)$, obtén la matriz en la base usual de polinomios y decide si es invertible.
Cambio de bases
Sea $T(x,y)=(2x+y,x-y)$, con base del dominio $B=((1,1),(1,-1))$ y base del codominio $C=((1,0),(1,1))$. Calcula $[T]{C\leftarrow B}$.
Sea $T(x,y)=(2x+y,x-y)$, con base del dominio $B=((1,1),(1,-1))$ y base del codominio $C=((1,0),(1,1))$. Calcula $[T]_{C\leftarrow B}$.
Para $T(x,y)=(x+y,y)$ y $B=((1,0),(1,1))$, calcula la matriz del endomorfismo en $B$ y comprueba el resultado sobre $[v]B=(2,-1)^T$.
Para $T(x,y)=(x+y,y)$ y $B=((1,0),(1,1))$, calcula la matriz del endomorfismo en $B$ y comprueba el resultado sobre $[v]_B=(2,-1)^T$.
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ cuya matriz en $B=((1,1),(1,-1))$ es $\operatorname{diag}(2,3)$. Obtén su matriz usual.
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ cuya matriz en $B=((1,1),(1,-1))$ es $\operatorname{diag}(2,3)$. Obtén su matriz usual.
Elegir buena base: invariantes y forma simple
Cambiar de base no cambia la transformación, solo su descripción. Por eso hay cantidades que no dependen de la base.
Un dispositivo transforma coordenadas locales mediante $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$. La base local en coordenadas globales es $B=((0,1),(-1,0))$. Calcula la…
Un dispositivo transforma coordenadas locales mediante $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$. La base local en coordenadas globales es $B=((0,1),(-1,0))$. Calcula la matriz global y explica qué dirección física duplica.
El dibujo fija la orientación de los ejes locales del dispositivo.
Sea $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ con matriz usual $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$. Toma $B=(e_1,e_2,e_1+e_2+e_3)$ y $C=((1,1),(1,-1))$. Halla la nueva…
Sea $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ con matriz usual $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$. Toma $B=(e_1,e_2,e_1+e_2+e_3)$ y $C=((1,1),(1,-1))$. Halla la nueva matriz.
Sea $T(x,y)=(2x+y,y)$ y $B_a=((1,0),(a,1))$. Calcula la matriz de $T$ en $B_a$ para cada $a\in\mathbb R$ y determina cuándo es diagonal.
Sea $T(x,y)=(2x+y,y)$ y $B_a=((1,0),(a,1))$. Calcula la matriz de $T$ en $B_a$ para cada $a\in\mathbb R$ y determina cuándo es diagonal.
Vuelve al principio: el sensor y el laboratorio describen la misma transformación con matrices semejantes, $A'=P^{-1}AP$, donde $P$ traduce entre los dos sistemas de ejes.