Teorema espectral y diagonalización ortogonal
Una pieza metálica se deforma y quieres saber en qué direcciones se estira más y menos. Para una matriz cualquiera, las direcciones propias pueden ser oblicuas y difíciles de manejar. Con una matriz simétrica ocurre algo muy especial: siempre existen direcciones propias perpendiculares entre sí. ¿Por qué ocurre y cómo se aprovecha para calcular?
Simetría y ortogonalidad de autovectores
La clave es que una matriz simétrica se puede pasar de un factor a otro del producto escalar: $\langle Au,v\rangle=(Au)^{\mathsf T}v=u^{\mathsf T}A^{\mathsf T}v=\langle u,Av\rangle$.
La matriz $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ es diagonalizable. Decide si puede diagonalizarse mediante una matriz real ortogonal y justifica la diferencia.
La matriz $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ es diagonalizable. Decide si puede diagonalizarse mediante una matriz real ortogonal y justifica la diferencia.
Demuestra que los autoespacios de una matriz real simétrica asociados a valores distintos son ortogonales. Explica cómo se completa una base ortonormal cuando hay…
Demuestra que los autoespacios de una matriz real simétrica asociados a valores distintos son ortogonales. Explica cómo se completa una base ortonormal cuando hay valores repetidos.
El teorema espectral
Idea de la demostración, en tres piezas:
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Todo autovalor es real. Si $Az=\lambda z$ con $z\in\mathbb C^n$ no nulo, $\lambda\,\overline z^{\mathsf T}z=\overline z^{\mathsf T}Az$. Como $A$ es real simétrica, $\overline z^{\mathsf T}Az$ es igual a su conjugado, luego es real; y $\overline z^{\mathsf T}z=\|z\|^2>0$. Por tanto $\lambda\in\mathbb R$.
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Si $v$ es autovector, $v^\perp$ es invariante por $A$: si $\langle u,v\rangle=0$, entonces $\langle Au,v\rangle=\langle u,Av\rangle=\lambda\langle u,v\rangle=0$.
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Por inducción sobre la dimensión, $A$ restringida a $v^\perp$ (también simétrica) tiene una base ortonormal de autovectores; se añade $v/\|v\|$.
La gráfica muestra $x^{\mathsf T}Ax$ para $x=(\cos t,\sin t)$ con $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ cambiada de forma ilustrativa: oscila entre dos valores extremos, que corresponden a los autovalores, y se alcanza en direcciones perpendiculares.
Para $A=\operatorname{diag}(-2,4,4)$, da una base ortonormal de autovectores y describe todos los autoespacios.
Para $A=\operatorname{diag}(-2,4,4)$, da una base ortonormal de autovectores y describe todos los autoespacios.
Una matriz real simétrica $A$ tiene como único autovalor $2$. Demuestra que $A=2I$ y explica por qué la afirmación puede fallar si se elimina la simetría.
Una matriz real simétrica $A$ tiene como único autovalor $2$. Demuestra que $A=2I$ y explica por qué la afirmación puede fallar si se elimina la simetría.
Demuestra que todo autovalor de una matriz real simétrica es real, admitiendo inicialmente autovectores complejos. Usa el producto hermítico usual.
Demuestra que todo autovalor de una matriz real simétrica es real, admitiendo inicialmente autovectores complejos. Usa el producto hermítico usual.
Cómo diagonalizar ortogonalmente
Diagonaliza ortogonalmente $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$: encuentra $Q$ ortogonal y $D$ diagonal tales que $A=QDQ^{\mathsf T}$. La imagen del círculo sugiere…
Diagonaliza ortogonalmente $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$: encuentra $Q$ ortogonal y $D$ diagonal tales que $A=QDQ^{\mathsf T}$.
La imagen del círculo sugiere el papel geométrico de una base ortonormal de autovectores.
Calcula una base ortonormal de autovectores de $A=\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$.
Calcula una base ortonormal de autovectores de $A=\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$.
Diagonaliza ortogonalmente $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{pmatrix}$, prestando atención al autovalor repetido.
Diagonaliza ortogonalmente $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{pmatrix}$, prestando atención al autovalor repetido.
Versión compleja y diagonalización simultánea
El cálculo es el mismo, pero los autovectores son complejos y se normalizan con $\|u\|^2=\sum|u_k|^2$.
Diagonaliza unitariamente $A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix}$ en $\mathbb C^2$ con el producto $\langle u,v\rangle=\overline u^{\mathsf T}v$. Da $U,D$ tales que…
Diagonaliza unitariamente $A=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix}$ en $\mathbb C^2$ con el producto $\langle u,v\rangle=\overline u^{\mathsf T}v$. Da $U,D$ tales que $A=UDU^*$, donde $U^*=\overline U^{\mathsf T}$.
Encuentra una matriz ortogonal que diagonalice simultáneamente $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}4&-1\\-1&4\end{pmatrix}$. Indica las dos…
Encuentra una matriz ortogonal que diagonalice simultáneamente $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}4&-1\\-1&4\end{pmatrix}$. Indica las dos diagonales en el mismo orden.
Sean $A,B$ matrices reales simétricas que conmutan. Demuestra que admiten una base ortonormal común de autovectores, sin suponer que $A$ tenga valores distintos.
Sean $A,B$ matrices reales simétricas que conmutan. Demuestra que admiten una base ortonormal común de autovectores, sin suponer que $A$ tenga valores distintos.
Extremos de $x^{\mathsf T}Ax$ y raíces cuadradas
Si $x=Qy$, entonces $x^{\mathsf T}Ax=y^{\mathsf T}Dy=\sum\lambda_iy_i^2$ y $\|x\|=\|y\|$. Un cambio ortogonal elimina los términos mixtos sin deformar longitudes.
Determina el mínimo y el máximo de $4x^2+9y^2$ bajo la restricción $x^2+y^2=1$, e indica en qué direcciones se alcanzan.
Determina el mínimo y el máximo de $4x^2+9y^2$ bajo la restricción $x^2+y^2=1$, e indica en qué direcciones se alcanzan.
Encuentra una matriz simétrica definida positiva $B$ tal que $B^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ usando diagonalización ortogonal.
Encuentra una matriz simétrica definida positiva $B$ tal que $B^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ usando diagonalización ortogonal.
Sea $A$ real simétrica, con menor y mayor autovalor $m,M$. Demuestra $m\|x\|^2\le x^{\mathsf T}Ax\le M\|x\|^2$ y caracteriza la igualdad para $x\ne0$ en cada extremo.
Sea $A$ real simétrica, con menor y mayor autovalor $m,M$. Demuestra $m\|x\|^2\le x^{\mathsf T}Ax\le M\|x\|^2$ y caracteriza la igualdad para $x\ne0$ en cada extremo.
Familias, congruencia espectral y unicidad
Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}=aI+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, los autovectores no dependen de $a$: $(1,1)$ y $(1,-1)$, con autovalores $a+1$ y $a-1$. Así una sola $Q$ sirve para todo $a$.
Para $A_a$: definida positiva si $a>1$; semidefinida positiva si $a=1$; indefinida si $-1
Demuestra que dos matrices reales simétricas con los mismos autovalores, incluidas sus multiplicidades, son ortogonalmente semejantes.
Demuestra que dos matrices reales simétricas con los mismos autovalores, incluidas sus multiplicidades, son ortogonalmente semejantes.
Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}$, construye una diagonalización ortogonal válida para todo $a\in\mathbb R$. Clasifica además cuándo es definida positiva,…
Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}$, construye una diagonalización ortogonal válida para todo $a\in\mathbb R$. Clasifica además cuándo es definida positiva, semidefinida positiva o indefinida.
Demuestra que una matriz real simétrica semidefinida positiva $A$ tiene una única raíz cuadrada real simétrica semidefinida positiva. Puedes usar el teorema espectral…
Demuestra que una matriz real simétrica semidefinida positiva $A$ tiene una única raíz cuadrada real simétrica semidefinida positiva. Puedes usar el teorema espectral tanto para $A$ como para una raíz candidata.
Vuelve al principio: las direcciones de máximo y mínimo estiramiento de una matriz simétrica son perpendiculares porque sus autovectores de autovalores distintos lo son, y siempre existen $n$ de ellas.