Una aplicación lineal del plano deforma una figura: la estira, la gira, la aplasta. ¿Existe un único número que diga cuánto cambia el área y si la figura queda «del revés»? ¿Y cómo saber, sin resolver nada, si una matriz cuadrada se puede invertir o si «pierde» información? Ese número es el determinante, y el rango mide cuánta información conserva una matriz, sea o no cuadrada.
Determinante: definición geométrica y casos pequeños
Para $n=3$ se puede usar la regla de Sarrus o el desarrollo por cofactores de una fila o columna: $\det A=\sum_j a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el determinante de la submatriz que resulta de borrar la fila $i$ y la columna $j$.
¿Por qué estas condiciones? Son justo las propiedades de un «área orientada»: si duplicas un lado, el área se duplica; si dos lados coinciden, el paralelogramo se aplasta y no tiene área; el cuadrado unidad tiene área $1$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula el determinante y decide la invertibilidad de $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$.
Calcula el determinante y decide la invertibilidad de $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$.
Calcula el área del paralelogramo de lados $u=(3,1)$ y $v=(1,2)$ mediante un determinante. El paralelogramo permite interpretar geométricamente el determinante.
Calcula el área del paralelogramo de lados $u=(3,1)$ y $v=(1,2)$ mediante un determinante.
El paralelogramo permite interpretar geométricamente el determinante.
Sean $u=(1,0,1)$, $v=(0,2,1)$ y $w=(1,1,0)$. Calcula el volumen del paralelepípedo y decide su orientación respecto de la base canónica de $\mathbb R^3$.
Sean $u=(1,0,1)$, $v=(0,2,1)$ y $w=(1,1,0)$. Calcula el volumen del paralelepípedo y decide su orientación respecto de la base canónica de $\mathbb R^3$.
Para triángulos o regiones cualesquiera, el factor $|\det A|$ es el mismo, porque cualquier región se aproxima por cuadraditos y cada cuadradito se transforma en un paralelogramo de área $|\det A|$ veces mayor.
Practica★★☆Sin empezar
Una matriz $A\in\mathbb R^{4\times4}$ tiene determinante $-2$. Se obtiene $B$ intercambiando sus dos primeras filas y multiplicando luego la tercera fila por $3$.…
Una matriz $A\in\mathbb R^{4\times4}$ tiene determinante $-2$. Se obtiene $B$ intercambiando sus dos primeras filas y multiplicando luego la tercera fila por $3$. Calcula $\det B$ y $\det(B^2)$.
La transformación lineal $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ tiene matriz $\begin{pmatrix}2&1\\0&-3\end{pmatrix}$. ¿Qué área tiene la imagen de un triángulo de área $4$?…
La transformación lineal $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ tiene matriz $\begin{pmatrix}2&1\\0&-3\end{pmatrix}$. ¿Qué área tiene la imagen de un triángulo de área $4$? ¿Conserva la orientación?
La figura separa el dominio geométrico y la transformación aplicada.
Para calcularlo se aplica eliminación de Gauss, porque las operaciones elementales no cambian el rango: el rango es el número de filas no nulas de la forma escalonada.
Practica★☆☆Sin empezar
Determina el rango de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}$.
Determina el rango de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}$.
Aquí se usan las propiedades para probar resultados generales. La idea es siempre la misma: reconocer qué operación elemental o qué propiedad estructural hace el trabajo.
Practica★☆☆Sin empezar
Una matriz cuadrada $A$ tiene dos filas iguales. Demuestra que $\det A=0$ usando el efecto de intercambiar filas.
Una matriz cuadrada $A$ tiene dos filas iguales. Demuestra que $\det A=0$ usando el efecto de intercambiar filas.
Sea $A$ invertible $p\times p$ y sean $B,C,D$ bloques compatibles de una matriz cuadrada $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$. Demuestra…
Sea $A$ invertible $p\times p$ y sean $B,C,D$ bloques compatibles de una matriz cuadrada $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$. Demuestra $\det M=\det A\det(D-CA^{-1}B)$.
Si $A\in\mathbb R^{n\times n}$ tiene rango $n-1$, demuestra que su matriz adjunta clásica, formada por cofactores transpuestos, es no nula y tiene rango uno.
Si $A\in\mathbb R^{n\times n}$ tiene rango $n-1$, demuestra que su matriz adjunta clásica, formada por cofactores transpuestos, es no nula y tiene rango uno.
Vuelve al principio: el número que mide el cambio de área y de orientación es $\det A$, y la matriz conserva toda la información (es invertible) justo cuando $\det A\neq0$, es decir, cuando su rango es máximo.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado