Isometrías y distancias en rectas y planos
Un dron debe volar desde un punto hasta una pared plana y otro tiene que pasar entre dos cables que se cruzan sin tocarse. En ambos casos la pregunta es la misma: ¿cuál es la distancia mínima? Y hay una segunda pregunta: si giras o reflejas toda la escena, ¿cambia alguna de esas distancias? Con el producto escalar y la proyección ortogonal se contestan las dos.
Distancia entre puntos y vectores unitarios
¿Por qué esta fórmula? En el plano es el teorema de Pitágoras con los desplazamientos horizontal y vertical como catetos; en $\mathbb R^n$ se generaliza coordenada a coordenada.
Calcula la distancia euclídea entre $A=(1,2)$ y $B=(4,6)$ y escribe un vector unitario orientado de $A$ hacia $B$. El segmento y sus desplazamientos horizontal y…
Calcula la distancia euclídea entre $A=(1,2)$ y $B=(4,6)$ y escribe un vector unitario orientado de $A$ hacia $B$.
El segmento y sus desplazamientos horizontal y vertical permiten interpretar la distancia.
Distancia de un punto a un plano
Halla la distancia del origen al plano $2x-y+2z=6$. Da también el punto del plano más próximo al origen.
Halla la distancia del origen al plano $2x-y+2z=6$. Da también el punto del plano más próximo al origen.
Calcula el pie de la perpendicular desde $P=(1,2,3)$ al plano $x+y+z=0$ y la distancia de $P$ al plano. La distancia pedida corresponde a la perpendicular al plano, no a…
Calcula el pie de la perpendicular desde $P=(1,2,3)$ al plano $x+y+z=0$ y la distancia de $P$ al plano.
La distancia pedida corresponde a la perpendicular al plano, no a un segmento oblicuo.
Determina la distancia entre los planos paralelos $x-2y+2z=3$ y $x-2y+2z=-6$. Construye un segmento perpendicular que una ambos.
Determina la distancia entre los planos paralelos $x-2y+2z=3$ y $x-2y+2z=-6$. Construye un segmento perpendicular que una ambos.
Distancia de un punto a una recta y entre rectas
Halla la distancia de $P=(2,0,1)$ a la recta $L=(1,1,0)+t(1,0,1)$ y el punto más próximo de $L$.
Halla la distancia de $P=(2,0,1)$ a la recta $L=(1,1,0)+t(1,0,1)$ y el punto más próximo de $L$.
Sean $r=(0,0,0)+t(1,0,0)$ y $s=(0,1,1)+u(0,1,0)$. Demuestra que son rectas que se cruzan sin cortarse y calcula su distancia mínima.
Sean $r=(0,0,0)+t(1,0,0)$ y $s=(0,1,1)+u(0,1,0)$. Demuestra que son rectas que se cruzan sin cortarse y calcula su distancia mínima.
Para las rectas $r=(0,0,0)+t(1,1,0)$ y $s=(0,1,1)+u(1,-1,1)$, encuentra los dos puntos más próximos y su distancia. Justifica que el segmento que los une es…
Para las rectas $r=(0,0,0)+t(1,1,0)$ y $s=(0,1,1)+u(1,-1,1)$, encuentra los dos puntos más próximos y su distancia. Justifica que el segmento que los une es perpendicular a ambas.
Isometrías: giros y reflexiones
En $\mathbb R^2$ hay dos familias, según el determinante:
$$R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\ (\det=1),\qquad S_\theta=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\ \sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}\ (\det=-1)$$$R_\theta$ es el giro antihorario de ángulo $\theta$; $S_\theta$ es la reflexión respecto de la recta vectorial que forma ángulo $\theta$ con el eje $x$.
Escribe la matriz de la reflexión respecto del eje $x$ en $\mathbb R^2$. Comprueba que conserva la distancia y determina su determinante.
Escribe la matriz de la reflexión respecto del eje $x$ en $\mathbb R^2$. Comprueba que conserva la distancia y determina su determinante.
Aplica el giro de $90^\circ$ antihorario alrededor del origen a los puntos $P=(2,-1)$ y $Q=(0,3)$. Verifica que su distancia se conserva.
Aplica el giro de $90^\circ$ antihorario alrededor del origen a los puntos $P=(2,-1)$ y $Q=(0,3)$. Verifica que su distancia se conserva.
Construye la matriz de la reflexión respecto de la recta $y=x$ y determina la imagen del punto $(2,-3)$. Verifica que su cuadrado es la identidad.
Construye la matriz de la reflexión respecto de la recta $y=x$ y determina la imagen del punto $(2,-3)$. Verifica que su cuadrado es la identidad.
Demuestra que una aplicación lineal real $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ conserva todas las distancias euclídeas si y solo si su matriz cumple $T^{\mathsf T}T=I$. Puedes…
Demuestra que una aplicación lineal real $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ conserva todas las distancias euclídeas si y solo si su matriz cumple $T^{\mathsf T}T=I$. Puedes usar la identidad de polarización.
Isometrías afines, puntos fijos y composición
La aplicación afín $F(x)=Qx+b$ en $\mathbb R^2$ usa $Q=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ y $b=(1,2)$. Demuestra que es isometría y encuentra su centro de giro, es…
La aplicación afín $F(x)=Qx+b$ en $\mathbb R^2$ usa $Q=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ y $b=(1,2)$. Demuestra que es isometría y encuentra su centro de giro, es decir, su punto fijo.
Obtén una fórmula afín para la reflexión de un punto $x\in\mathbb R^3$ respecto del plano $n\cdot x=d$, donde $n\ne0$. Demuestra que fija el plano y es una isometría.
Obtén una fórmula afín para la reflexión de un punto $x\in\mathbb R^3$ respecto del plano $n\cdot x=d$, donde $n\ne0$. Demuestra que fija el plano y es una isometría.
Sea $S_\theta$ la reflexión respecto de la recta vectorial que forma ángulo $\theta$ con el eje $x$. Demuestra que $S_\beta S_\alpha$ es un giro y determina su ángulo,…
Sea $S_\theta$ la reflexión respecto de la recta vectorial que forma ángulo $\theta$ con el eje $x$. Demuestra que $S_\beta S_\alpha$ es un giro y determina su ángulo, respetando el orden de composición.
Vuelve al principio: la distancia del dron a la pared es la longitud del segmento perpendicular al plano, y los cables que se cruzan se separan según la perpendicular común. Cualquier giro o reflexión de la escena deja esas distancias intactas.