Forma polar, potencias y raíces
Una señal alterna, un giro de 60° en una pantalla o el movimiento de un péndulo se describen con ángulos, no con coordenadas cartesianas. Si quieres calcular $(1+i)^{8}$ o resolver $z^3=-8$, multiplicar en forma binómica es un suplicio. ¿Existe una escritura de los complejos en la que elevar a una potencia sea tan simple como multiplicar un ángulo? Sí: la forma polar.
Módulo, argumento y forma trigonométrica
La idea: $(a,b)$ son coordenadas cartesianas y $(r,\theta)$ son las polares del mismo punto. Para pasar de una a otra:
Escribe $1+\sqrt3i$ en forma trigonométrica, tomando el argumento en $[0,2\pi)$.
Escribe $1+\sqrt3i$ en forma trigonométrica, tomando el argumento en $[0,2\pi)$.
Convierte $3(\cos(5\pi/6)+i\sen(5\pi/6))$ a forma binómica.
Convierte $3(\cos(5\pi/6)+i\sen(5\pi/6))$ a forma binómica.
Forma exponencial y producto en polar
Multiplicar por $e^{i\varphi}$ es girar un ángulo $\varphi$; multiplicar por $s>0$ es escalar por $s$. Un operador $T(z)=se^{i\varphi}z$ es, pues, un giro seguido de una homotecia.
Sean $z=2e^{i\pi/6}$ y $w=3e^{-i\pi/4}$. Calcula módulo y un argumento de $z^2/w$.
Sean $z=2e^{i\pi/6}$ y $w=3e^{-i\pi/4}$. Calcula módulo y un argumento de $z^2/w$.
Una oscilación se describe por $x(t)=\operatorname{Re}((3-4i)e^{2it})$. Expresa $x(t)$ como combinación de seno y coseno y como $A\cos(2t+\phi)$, con $A>0$ y…
Una oscilación se describe por $x(t)=\operatorname{Re}((3-4i)e^{2it})$. Expresa $x(t)$ como combinación de seno y coseno y como $A\cos(2t+\phi)$, con $A>0$ y $\phi\in(-\pi,\pi]$.
El operador $T(z)=2e^{i\pi/3}z$ actúa en el plano complejo. Describe su efecto geométrico y calcula $T^3(1-i)$. La figura recuerda el vector inicial y la transformación…
El operador $T(z)=2e^{i\pi/3}z$ actúa en el plano complejo. Describe su efecto geométrico y calcula $T^3(1-i)$.
La figura recuerda el vector inicial y la transformación aplicada.
Potencias: fórmula de De Moivre
Cada potencia de $1+i$ gira $45°$ y multiplica el módulo por $\sqrt2$: los puntos describen una espiral.
Calcula $(1+i)^8$ mediante la fórmula de De Moivre.
Calcula $(1+i)^8$ mediante la fórmula de De Moivre.
Determina el menor entero positivo $n$ para el que $(\cos(2\pi/5)+i\sen(2\pi/5))^n=1$ y calcula la suma de las cinco potencias desde $0$ hasta $4$.
Determina el menor entero positivo $n$ para el que $(\cos(2\pi/5)+i\sen(2\pi/5))^n=1$ y calcula la suma de las cinco potencias desde $0$ hasta $4$.
Raíces n-ésimas
Las raíces están sobre una circunferencia de radio $\sqrt[n]{\rho}$, separadas por el ángulo constante $2\pi/n$: forman un polígono regular de $n$ vértices.
Encuentra y representa las cuatro raíces de $z^4=1$. La circunferencia unidad sirve de referencia para situar las raíces.
Encuentra y representa las cuatro raíces de $z^4=1$.
La circunferencia unidad sirve de referencia para situar las raíces.
Resuelve $z^3=-8$ en $\mathbb C$ y comprueba el número de raíces distintas.
Resuelve $z^3=-8$ en $\mathbb C$ y comprueba el número de raíces distintas.
Calcula todas las raíces cuadradas de $-5+12i$ sin usar una calculadora de argumentos.
Calcula todas las raíces cuadradas de $-5+12i$ sin usar una calculadora de argumentos.
Raíces de la unidad y factorización
Para $n=2$ las raíces son $\pm z_0$, dos puntos opuestos (un segmento, no un polígono); para $n\ge3$ forman un polígono regular.
Sean $n\ge2$ entero y $a\in\mathbb C\setminus\{0\}$. Demuestra que las raíces de $z^n=a$ están distribuidas uniformemente en una circunferencia y que su suma es cero.…
Sean $n\ge2$ entero y $a\in\mathbb C\setminus\{0\}$. Demuestra que las raíces de $z^n=a$ están distribuidas uniformemente en una circunferencia y que su suma es cero. Distingue el caso $n=2$ de los polígonos regulares obtenidos para $n\ge3$.
Determina las raíces comunes de $z^{12}=1$ y $z^{18}=1$ y justifica que no hay más.
Determina las raíces comunes de $z^{12}=1$ y $z^{18}=1$ y justifica que no hay más.
Resuelve $z^4+4=0$ y factoriza $x^4+4$ como producto de dos polinomios reales de grado dos.
Resuelve $z^4+4=0$ y factoriza $x^4+4$ como producto de dos polinomios reales de grado dos.
Sean $u,v$ números complejos de módulo uno y $u+v=1$. Determina todos los pares ordenados $(u,v)$.
Sean $u,v$ números complejos de módulo uno y $u+v=1$. Determina todos los pares ordenados $(u,v)$.
Vuelve al principio: en polar, elevar a $n$ multiplica el ángulo por $n$ y eleva el módulo, así que $(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{2\pi i}=16$ sin multiplicar ocho veces.