Ejercicios: Conjuntos, aplicaciones y demostraciones

Para $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,3,4\}$, calcula $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.

Niega con precisión la proposición: «Para todo $x\in\mathbb R$ existe $y\in\mathbb R$ tal que $y^2=x$». Decide cuál de ambas proposiciones es verdadera.

Sea $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}$ con $f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b$. Determina si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

El diagrama recoge las imágenes dadas de cada elemento.

Demuestra directamente que la suma de dos enteros impares es par.

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$. Calcula $f([-2,1])$ y $f^{-1}([1,4])$, donde $f^{-1}$ denota preimagen de conjuntos.

Demuestra por contraposición que, si $n^2$ es impar para $n\in\mathbb Z$, entonces $n$ es impar.

Demuestra por inducción que $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ para todo entero $n\ge1$.

Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ inyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es inyectiva.

Demuestra $f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$ para $f:A\to B$ y $U,V\subseteq B$.

Para $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, comprueba con $A=\{-1\}$ y $B=\{1\}$ que puede fallar $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. Explica la inclusión que siempre se cumple.

El esquema permite comparar las preimágenes con su imagen común.

Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Demuestra que si $g\circ f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva. Da un ejemplo en que $f$ no sea sobreyectiva y $g$ no sea inyectiva.

Demuestra que una aplicación $f:A\to B$ es inyectiva si y solo si $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$ para todos $U,V\subseteq A$.

Demuestra por inducción que $2^n\ge n+1$ para todo entero $n\ge0$ e identifica los casos de igualdad.

Una relación en $\mathbb R^2$ se define por $(x,y)\sim(u,v)$ si $x-y=u-v$. Demuestra que es de equivalencia y describe geométricamente la clase de $(2,1)$.