Ejercicios: Conjuntos, aplicaciones y demostraciones
Para $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,3,4\}$, calcula $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.
Para $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{2,3,4\}$, calcula $A\cap B$, $A\cup B$ y $A\setminus B$.
Niega con precisión la proposición: «Para todo $x\in\mathbb R$ existe $y\in\mathbb R$ tal que $y^2=x$». Decide cuál de ambas proposiciones es verdadera.
Niega con precisión la proposición: «Para todo $x\in\mathbb R$ existe $y\in\mathbb R$ tal que $y^2=x$». Decide cuál de ambas proposiciones es verdadera.
Sea $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}$ con $f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b$. Determina si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. El diagrama recoge las imágenes dadas de cada elemento.
Sea $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}$ con $f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b$. Determina si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
El diagrama recoge las imágenes dadas de cada elemento.
Demuestra directamente que la suma de dos enteros impares es par.
Demuestra directamente que la suma de dos enteros impares es par.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$. Calcula $f([-2,1])$ y $f^{-1}([1,4])$, donde $f^{-1}$ denota preimagen de conjuntos.
Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$. Calcula $f([-2,1])$ y $f^{-1}([1,4])$, donde $f^{-1}$ denota preimagen de conjuntos.
Demuestra por contraposición que, si $n^2$ es impar para $n\in\mathbb Z$, entonces $n$ es impar.
Demuestra por contraposición que, si $n^2$ es impar para $n\in\mathbb Z$, entonces $n$ es impar.
Demuestra por inducción que $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ para todo entero $n\ge1$.
Demuestra por inducción que $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ para todo entero $n\ge1$.
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ inyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es inyectiva.
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ inyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es inyectiva.
Demuestra $f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$ para $f:A\to B$ y $U,V\subseteq B$.
Demuestra $f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$ para $f:A\to B$ y $U,V\subseteq B$.
Para $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, comprueba con $A=\{-1\}$ y $B=\{1\}$ que puede fallar $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. Explica la inclusión que siempre se cumple.…
Para $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, comprueba con $A=\{-1\}$ y $B=\{1\}$ que puede fallar $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. Explica la inclusión que siempre se cumple.
El esquema permite comparar las preimágenes con su imagen común.
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Demuestra que si $g\circ f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva. Da un ejemplo en que $f$ no sea sobreyectiva y $g$…
Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Demuestra que si $g\circ f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva. Da un ejemplo en que $f$ no sea sobreyectiva y $g$ no sea inyectiva.
Demuestra que una aplicación $f:A\to B$ es inyectiva si y solo si $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$ para todos $U,V\subseteq A$.
Demuestra que una aplicación $f:A\to B$ es inyectiva si y solo si $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$ para todos $U,V\subseteq A$.
Demuestra por inducción que $2^n\ge n+1$ para todo entero $n\ge0$ e identifica los casos de igualdad.
Demuestra por inducción que $2^n\ge n+1$ para todo entero $n\ge0$ e identifica los casos de igualdad.
Una relación en $\mathbb R^2$ se define por $(x,y)\sim(u,v)$ si $x-y=u-v$. Demuestra que es de equivalencia y describe geométricamente la clase de $(2,1)$.
Una relación en $\mathbb R^2$ se define por $(x,y)\sim(u,v)$ si $x-y=u-v$. Demuestra que es de equivalencia y describe geométricamente la clase de $(2,1)$.