Suma, intersección y suma directa
Un desplazamiento en el plano puede describirse como «tanto hacia el este como hacia el norte», o como «tanto en la dirección de una carretera como en la de otra». Siempre se descompone en dos componentes, pero ¿cuándo esa descomposición existe para todo vector y cuándo es única? La respuesta está en cómo se relacionan dos subespacios entre sí.
Intersección y suma de subespacios
Sean $U=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}$. Calcula $U+W$ y $U\cap W$ e indica si la suma es directa.
Sean $U=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}$. Calcula $U+W$ y $U\cap W$ e indica si la suma es directa.
Sean $U=\{(x,y,z):z=0\}$ y $W=\{(x,y,z):x=0\}$. Encuentra una base de su intersección.
Sean $U=\{(x,y,z):z=0\}$ y $W=\{(x,y,z):x=0\}$. Encuentra una base de su intersección.
Si $U\subseteq W$ son subespacios, expresa $U+W$ y $U\cap W$ en términos de $U,W$. Justifica.
Si $U\subseteq W$ son subespacios, expresa $U+W$ y $U\cap W$ en términos de $U,W$. Justifica.
Suma directa y descomposición única
Descompón $(3,-2,5)$ como suma de un vector del plano $z=0$ y otro del eje $z$. ¿Es única? Las líneas auxiliares muestran las direcciones permitidas para la…
Descompón $(3,-2,5)$ como suma de un vector del plano $z=0$ y otro del eje $z$. ¿Es única?
Las líneas auxiliares muestran las direcciones permitidas para la descomposición.
Sean $U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}$. Comprueba si $\mathbb R^3=U\oplus W$ y descompón $(2,1,3)$ cuando proceda.
Sean $U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}$. Comprueba si $\mathbb R^3=U\oplus W$ y descompón $(2,1,3)$ cuando proceda.
Un desplazamiento plano debe escribirse como suma de uno paralelo a $u=(1,1)$ y otro paralelo a $v=(1,-2)$. Obtén la descomposición de $d=(4,1)$ y argumenta su unicidad.…
Un desplazamiento plano debe escribirse como suma de uno paralelo a $u=(1,1)$ y otro paralelo a $v=(1,-2)$. Obtén la descomposición de $d=(4,1)$ y argumenta su unicidad.
Las tres flechas permiten comparar el desplazamiento con las direcciones disponibles.
Fórmula de Grassmann
Dos subespacios $U,W$ tienen dimensiones tres y dos, y su intersección dimensión uno. Calcula la dimensión de $U+W$.
Dos subespacios $U,W$ tienen dimensiones tres y dos, y su intersección dimensión uno. Calcula la dimensión de $U+W$.
En $\mathbb R^4$, sean $U=\operatorname{span}\{e_1,e_2,e_3\}$ y $W=\operatorname{span}\{e_2,e_3,e_4\}$. Comprueba la fórmula de Grassmann con bases explícitas.
En $\mathbb R^4$, sean $U=\operatorname{span}\{e_1,e_2,e_3\}$ y $W=\operatorname{span}\{e_2,e_3,e_4\}$. Comprueba la fórmula de Grassmann con bases explícitas.
Prueba la fórmula $\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$ completando una base de la intersección.
Prueba la fórmula $\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$ completando una base de la intersección.
Complementos y descomposiciones en espacios de funciones
En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera los polinomios pares $E$ y los impares $O$. Da bases de ambos y decide si $\mathcal P_3(\mathbb R)=E\oplus O$.
En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera los polinomios pares $E$ y los impares $O$. Da bases de ambos y decide si $\mathcal P_3(\mathbb R)=E\oplus O$.
En $M_2(\mathbb R)$, descompón $A=\begin{pmatrix}2&5\\-1&3\end{pmatrix}$ en una matriz simétrica y otra antisimétrica. Explica por qué la descomposición es única.
En $M_2(\mathbb R)$, descompón $A=\begin{pmatrix}2&5\\-1&3\end{pmatrix}$ en una matriz simétrica y otra antisimétrica. Explica por qué la descomposición es única.
Sea $U=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ y $W_a=\operatorname{span}\{(1,1,a)\}$. Determina para qué $a\in\mathbb R$ se tiene $\mathbb R^3=U\oplus W_a$.
Sea $U=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ y $W_a=\operatorname{span}\{(1,1,a)\}$. Determina para qué $a\in\mathbb R$ se tiene $\mathbb R^3=U\oplus W_a$.
Propiedades y demostraciones
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $U=\{p:p(0)=0\}$ y $W=\{p:p(1)=0\}$. Halla bases de la suma y la intersección.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $U=\{p:p(0)=0\}$ y $W=\{p:p(1)=0\}$. Halla bases de la suma y la intersección.
Sean $U,W,Z$ subespacios. Demuestra $U+(W\cap Z)\subseteq(U+W)\cap(U+Z)$ y da un ejemplo en $\mathbb R^2$ donde la inclusión sea estricta.
Sean $U,W,Z$ subespacios. Demuestra $U+(W\cap Z)\subseteq(U+W)\cap(U+Z)$ y da un ejemplo en $\mathbb R^2$ donde la inclusión sea estricta.
Sean $U,W\subset\mathbb R^5$ con $\dim U=\dim W=3$. Determina todos los valores posibles de $\dim(U\cap W)$ y construye ejemplos usando la base usual.
Sean $U,W\subset\mathbb R^5$ con $\dim U=\dim W=3$. Determina todos los valores posibles de $\dim(U\cap W)$ y construye ejemplos usando la base usual.
Vuelve al principio: la descomposición de un desplazamiento en dos direcciones existe para todo vector cuando la suma es todo el espacio, y es única exactamente cuando los subespacios se cortan solo en el origen.