Composición, inversas y proyectores
Un editor de imágenes aplica un filtro y después otro: el resultado depende del orden. Un retoque se puede deshacer, pero al convertir a blanco y negro la información de color se pierde y no hay vuelta atrás. Y si aplicas dos veces el mismo filtro de «quitar color», la segunda pasada ya no cambia nada. Este apartado formaliza las tres ideas: componer, invertir y proyectar. La pregunta de fondo: ¿cuándo se puede deshacer una aplicación lineal, y qué significa que aplicarla dos veces sea lo mismo que aplicarla una?
Composición de aplicaciones lineales
¿Por qué el orden $BA$? Porque primero actúa $A$ sobre el vector columna $x$ y después $B$ sobre el resultado: $B(Ax)=(BA)x$. La composición es asociativa, pero en general no conmutativa.
Sean $T(x,y)=(2x,y)$ y $S(x,y)=(x+y,y)$. Calcula $S\circ T$ y $T\circ S$ y decide si son iguales.
Sean $T(x,y)=(2x,y)$ y $S(x,y)=(x+y,y)$. Calcula $S\circ T$ y $T\circ S$ y decide si son iguales.
Sean $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$, $D(p)=p'$, e $I:\mathcal P_1(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $I(q)(x)=\int_0^xq(t)\,dt$. Calcula…
Sean $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$, $D(p)=p'$, e $I:\mathcal P_1(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $I(q)(x)=\int_0^xq(t)\,dt$. Calcula $D\circ I$ e $I\circ D$.
Sean $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $T(x,y,z)=(x,y)$, y $S:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $S(u,v)=(u,v,u+v)$. Calcula las dos composiciones y determina cuál es identidad y…
Sean $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $T(x,y,z)=(x,y)$, y $S:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $S(u,v)=(u,v,u+v)$. Calcula las dos composiciones y determina cuál es identidad y cuál proyector.
Inversas: bilateral, izquierda y derecha
Halla la inversa de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(x+y,y)$ y comprueba ambas composiciones.
Halla la inversa de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(x+y,y)$ y comprueba ambas composiciones.
Si $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es lineal, ¿puede tener inversa bilateral? Razona mediante dimensiones.
Si $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ es lineal, ¿puede tener inversa bilateral? Razona mediante dimensiones.
Sean $A,B$ matrices cuadradas invertibles del mismo tamaño. Demuestra la fórmula para $(AB)^{-1}$ y explica por qué no se debe invertir conservando el orden.
Sean $A,B$ matrices cuadradas invertibles del mismo tamaño. Demuestra la fórmula para $(AB)^{-1}$ y explica por qué no se debe invertir conservando el orden.
Para $T:V\to W$ lineal entre espacios finitos, demuestra que posee una inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva, y una inversa por la derecha si y solo si es…
Para $T:V\to W$ lineal entre espacios finitos, demuestra que posee una inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva, y una inversa por la derecha si y solo si es sobreyectiva.
Proyectores
Intuición: la sombra de un objeto sobre el suelo no cambia si proyectas la sombra otra vez. La segunda pasada del filtro ya no hace nada porque sus resultados quedan fijos.
Sea $P:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $P(x,y,z)=(x,y,0)$. Comprueba que $P^2=P$ y calcula su núcleo e imagen.
Sea $P:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $P(x,y,z)=(x,y,0)$. Comprueba que $P^2=P$ y calcula su núcleo e imagen.
Obtén la matriz de la proyección sobre $U=\operatorname{span}\{(1,1)\}$ paralelamente a $W=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$. Comprueba que es idempotente.
Obtén la matriz de la proyección sobre $U=\operatorname{span}\{(1,1)\}$ paralelamente a $W=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$. Comprueba que es idempotente.
Sea $P:V\to V$ lineal con $P^2=P$. Demuestra $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ y construye una base en la que la matriz de $P$ sea $\operatorname{diag}(I_r,0)$.
Sea $P:V\to V$ lineal con $P^2=P$. Demuestra $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ y construye una base en la que la matriz de $P$ sea $\operatorname{diag}(I_r,0)$.
Proyectores en espacios de matrices y funciones
Los proyectores aparecen en espacios más abstractos. En $M_2(\mathbb R)$, $P(A)=(A+A^T)/2$ da la parte simétrica de $A$: $P^2=P$ porque la parte simétrica de una matriz simétrica es ella misma. Su imagen son las matrices simétricas y su núcleo las antisimétricas, y $M_2(\mathbb R)=\mathcal S\oplus\mathcal A$.
Un filtro que elimina la componente constante de una señal $a+b\cos t+c\sin t$ y deja $b\cos t+c\sin t$ también es un proyector: imagen $\operatorname{span}\{\cos t,\sin t\}$, núcleo las constantes. La segunda pasada no encuentra nada que quitar.
En $M_2(\mathbb R)$, define $P(A)=(A+A^T)/2$. Demuestra que es proyector e identifica núcleo e imagen.
En $M_2(\mathbb R)$, define $P(A)=(A+A^T)/2$. Demuestra que es proyector e identifica núcleo e imagen.
Un filtro sobre $V=\operatorname{span}\{1,\cos t,\sen t\}$ elimina la componente constante: $P(a+b\cos t+c\sen t)=b\cos t+c\sen t$. Calcula $P^2$, núcleo e imagen e…
Un filtro sobre $V=\operatorname{span}\{1,\cos t,\sen t\}$ elimina la componente constante: $P(a+b\cos t+c\sen t)=b\cos t+c\sen t$. Calcula $P^2$, núcleo e imagen e interpreta la segunda pasada del filtro.
Las dos cajas representan dos pasadas consecutivas del mismo filtro.
Sean $P,Q:V\to V$ proyectores que conmutan. Prueba que $PQ$ también es proyector y que su imagen es $\operatorname{im}P\cap\operatorname{im}Q$.
Sean $P,Q:V\to V$ proyectores que conmutan. Prueba que $PQ$ también es proyector y que su imagen es $\operatorname{im}P\cap\operatorname{im}Q$.
Nilpotentes y la inversa de $I+aP$
Para $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, calcula $N^2,N^3$ y demuestra que $(I-N)^{-1}=I+N+N^2$.
Para $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, calcula $N^2,N^3$ y demuestra que $(I-N)^{-1}=I+N+N^2$.
Sea $P$ un proyector y $a\in\mathbb R$. Clasifica cuándo $I+aP$ es invertible y obtén su inversa, distinguiendo el caso $P=0$.
Sea $P$ un proyector y $a\in\mathbb R$. Clasifica cuándo $I+aP$ es invertible y obtén su inversa, distinguiendo el caso $P=0$.
Sea $T:V\to V$ lineal con $T^2=0$ y $\dim V=n$. Prueba $\operatorname{im}T\subseteq\ker T$ y deduce una cota para el rango. Construye un ejemplo que alcance la cota si…
Sea $T:V\to V$ lineal con $T^2=0$ y $\dim V=n$. Prueba $\operatorname{im}T\subseteq\ker T$ y deduce una cota para el rango. Construye un ejemplo que alcance la cota si $n=4$.
Vuelve al principio: el filtro que quita el color se puede aplicar dos veces sin más efecto porque es un proyector ($P^2=P$), y no se puede deshacer porque su núcleo no es trivial.