Linealidad, núcleo e imagen
Un sensor mide tres magnitudes de un sistema y devuelve un solo número. Dos estados distintos pueden dar la misma lectura, y algunas lecturas quizá no las produzca ningún estado. ¿Cuánta información se pierde y cuántas lecturas son posibles? Las aplicaciones lineales responden con dos subespacios, el núcleo y la imagen, y con una ecuación que los une.
Aplicaciones lineales
La idea: $T$ respeta las dos operaciones del espacio. Da igual sumar o escalar antes de aplicar $T$ que después. Por eso una aplicación lineal queda determinada por lo que hace con una base.
Estudia si $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(2x-y,3y)$, es lineal y calcula $T(1,-2)$.
Estudia si $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T(x,y)=(2x-y,3y)$, es lineal y calcula $T(1,-2)$.
Decide si $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $F(x,y)=(x+1,y)$, es lineal. Justifica con una condición necesaria.
Decide si $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $F(x,y)=(x+1,y)$, es lineal. Justifica con una condición necesaria.
Estudia la linealidad de la conjugación $C:\mathbb C\to\mathbb C$, $C(z)=\overline z$, sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$. En el caso lineal, da núcleo e imagen.
Estudia la linealidad de la conjugación $C:\mathbb C\to\mathbb C$, $C(z)=\overline z$, sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$. En el caso lineal, da núcleo e imagen.
Núcleo e imagen
El núcleo recoge los estados que el sensor registra como cero; la imagen, las lecturas que realmente pueden darse.
¿Por qué son subespacios? Si $T(u)=T(v)=0$, entonces $T(\lambda u+\mu v)=0$. Y si $w_1=T(u)$, $w_2=T(v)$, entonces $\lambda w_1+\mu w_2=T(\lambda u+\mu v)$ también está en la imagen.
Para $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $T(x,y,z)=(x,y)$, determina núcleo, imagen e inyectividad. La proyección del esquema conserva las dos primeras coordenadas de cada…
Para $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $T(x,y,z)=(x,y)$, determina núcleo, imagen e inyectividad.
La proyección del esquema conserva las dos primeras coordenadas de cada estado.
Un sensor ideal da $T(x,y,z)=2x-y+z$. Describe los estados que el sensor registra como cero y decide si cualquier lectura real es posible.
Un sensor ideal da $T(x,y,z)=2x-y+z$. Describe los estados que el sensor registra como cero y decide si cualquier lectura real es posible.
Calcula bases del núcleo y de la imagen de $T(x,y,z)=(x+y,y+z,x+2y+z)$ y verifica el teorema rango-nulidad.
Calcula bases del núcleo y de la imagen de $T(x,y,z)=(x+y,y+z,x+2y+z)$ y verifica el teorema rango-nulidad.
Inyectividad, sobreyectividad y fibras
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $T(x,y)=(x,y,x+y)$. Encuentra una base de su imagen y decide si es inyectiva.
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $T(x,y)=(x,y,x+y)$. Encuentra una base de su imagen y decide si es inyectiva.
Para $T_a:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T_a(x,y)=(x+ay,ax+y)$, clasifica inyectividad y sobreyectividad según $a\in\mathbb R$.
Para $T_a:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $T_a(x,y)=(x+ay,ax+y)$, clasifica inyectividad y sobreyectividad según $a\in\mathbb R$.
Sea $E:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $E(p)=(p(0),p(1))$. Obtén su núcleo, imagen y todas las preimágenes de $(2,3)$.
Sea $E:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $E(p)=(p(0),p(1))$. Obtén su núcleo, imagen y todas las preimágenes de $(2,3)$.
Teorema rango-nulidad
Un sistema de medición asigna $T(x,y,z)=(x+y,2x+2y,z)$. Identifica la redundancia de las lecturas y el grado de libertad del estado que no se puede recuperar. El…
Un sistema de medición asigna $T(x,y,z)=(x+y,2x+2y,z)$. Identifica la redundancia de las lecturas y el grado de libertad del estado que no se puede recuperar.
El diagrama organiza las entradas y las tres lecturas del sistema.
Demuestra el teorema rango-nulidad para $T:V\to W$ con $V$ de dimensión finita completando una base de $\ker T$ a una de $V$.
Demuestra el teorema rango-nulidad para $T:V\to W$ con $V$ de dimensión finita completando una base de $\ker T$ a una de $V$.
Sean $V,W$ reales de dimensiones cuatro y tres. ¿Existe una aplicación lineal $T:V\to W$ con núcleo de dimensión cero? ¿Y de dimensión dos? Razona y construye un ejemplo…
Sean $V,W$ reales de dimensiones cuatro y tres. ¿Existe una aplicación lineal $T:V\to W$ con núcleo de dimensión cero? ¿Y de dimensión dos? Razona y construye un ejemplo del segundo caso en coordenadas.
Más allá de $\mathbb R^n$: polinomios, matrices y definición por bases
El núcleo y la imagen se definen igual en polinomios o matrices: se escoge una base, se calculan las imágenes de sus elementos y se razona con coordenadas.
Considera la derivación $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$. Comprueba que es lineal y calcula su núcleo e imagen.
Considera la derivación $D:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_1(\mathbb R)$. Comprueba que es lineal y calcula su núcleo e imagen.
Determina la aplicación lineal $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que cumple $T(1,1)=(2,0)$ y $T(1,-1)=(0,4)$, y calcula su núcleo.
Determina la aplicación lineal $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que cumple $T(1,1)=(2,0)$ y $T(1,-1)=(0,4)$, y calcula su núcleo.
Sea $T_a:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T_a(p)=p''+a p'$. Clasifica núcleo e imagen para $a\in\mathbb R$.
Sea $T_a:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T_a(p)=p''+a p'$. Clasifica núcleo e imagen para $a\in\mathbb R$.
Núcleos con estructura: matrices y factorización por el núcleo
Hay transformaciones cuyo núcleo tiene un significado propio. Para $T(X)=AX-XA$ el núcleo es el conjunto de matrices que conmutan con $A$.
Sea $T:M_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $T(A)=(\operatorname{tr}A,A_{12}-A_{21})$. Calcula una base del núcleo y justifica si es sobreyectiva.
Sea $T:M_2(\mathbb R)\to\mathbb R^2$, $T(A)=(\operatorname{tr}A,A_{12}-A_{21})$. Calcula una base del núcleo y justifica si es sobreyectiva.
Sea $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T(p)=p-xp'$. Calcula núcleo e imagen.
Sea $T:\mathcal P_2(\mathbb R)\to\mathcal P_2(\mathbb R)$, $T(p)=p-xp'$. Calcula núcleo e imagen.
Sea $T:V\to W$ lineal. Demuestra que toda fibra no vacía $T^{-1}(w)$ es una traslación de $\ker T$ y precisa cuándo dicha fibra es subespacio de $V$.
Sea $T:V\to W$ lineal. Demuestra que toda fibra no vacía $T^{-1}(w)$ es una traslación de $\ker T$ y precisa cuándo dicha fibra es subespacio de $V$.
Vuelve al principio: la información que pierde el sensor es exactamente su núcleo, las lecturas posibles son su imagen, y las dos cantidades suman la dimensión del espacio de estados.