Un programa de gráficos gira, estira e inclina una imagen multiplicando cada punto por una matriz. Si quieres volver a la imagen original, necesitas otra matriz que deshaga exactamente esa operación. ¿Siempre existe? ¿Cómo se calcula sin adivinar? ¿Y qué pasa cuando la operación aplasta la imagen sobre una recta? Este apartado responde a las tres preguntas.
Matriz inversa: definición y existencia
Un número $a\neq0$ se deshace multiplicando por $a^{-1}$. Con matrices la idea es la misma, pero hay que cuidar el orden y no todas las matrices (ni siquiera las no nulas) se pueden deshacer.
Unicidad: si $B$ y $C$ cumplen la definición, $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$.
Una matriz no invertible aplasta el espacio: envía algún vector no nulo a cero, y una operación que pierde información no se puede deshacer.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y verifica $AA^{-1}=I$.
Calcula la inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y verifica $AA^{-1}=I$.
Con la inversa se despejan incógnitas matriciales, siempre multiplicando por el mismo lado en ambos miembros: de $AX=C$ sale $X=A^{-1}C$; de $XA=C$ sale $X=CA^{-1}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Para $D=\operatorname{diag}(2,-3,4)$, calcula $D^{-1}$ y resuelve $Dx=(4,6,8)^T$.
Para $D=\operatorname{diag}(2,-3,4)$, calcula $D^{-1}$ y resuelve $Dx=(4,6,8)^T$.
Sean $E_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$ y $E_2=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}$, con $E_2E_1A=I$. Obtén $A^{-1}$ y $A$ respetando el orden de los factores.
Sean $E_1=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$ y $E_2=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}$, con $E_2E_1A=I$. Obtén $A^{-1}$ y $A$ respetando el orden de los factores.
De ahí el método: se escribe la matriz ampliada $(A\mid I)$ y se reduce por filas hasta obtener $(I\mid A^{-1})$. Si en algún momento aparece una fila de ceros a la izquierda, $A$ no es invertible.
Practica★★☆Sin empezar
Obtén por Gauss-Jordan la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Obtén por Gauss-Jordan la inversa de $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Una transformación del plano envía $(x,y)$ a $(x+2y,y)$. Escribe su matriz, su inversa y la preimagen de $(5,2)$. El esquema distingue el plano de partida y el punto de…
Una transformación del plano envía $(x,y)$ a $(x+2y,y)$. Escribe su matriz, su inversa y la preimagen de $(5,2)$.
El esquema distingue el plano de partida y el punto de llegada.
Sea $A$ invertible $p\times p$, $D$ invertible $q\times q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Obtén la inversa por bloques de $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$. La…
Sea $A$ invertible $p\times p$, $D$ invertible $q\times q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Obtén la inversa por bloques de $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$.
La partición muestra los tamaños compatibles de los bloques.
Una matriz puede ser invertible y aun así comportarse casi como una singular. Entonces pequeños cambios en los datos producen cambios enormes en la solución.
Vuelve al principio: la matriz del programa de gráficos se deshace con su inversa si y solo si no aplasta el plano; se calcula por Gauss-Jordan y, si es casi singular, el resultado numérico es poco fiable.
Practica★★★Sin empezar
Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+\varepsilon\end{pmatrix}$, $\varepsilon\ne0$, resuelve $Ax=(2,2+\varepsilon)^T$ y $A\widetilde x=(2,2+\varepsilon+\delta)^T$. Explica la…
Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+\varepsilon\end{pmatrix}$, $\varepsilon\ne0$, resuelve $Ax=(2,2+\varepsilon)^T$ y $A\widetilde x=(2,2+\varepsilon+\delta)^T$. Explica la sensibilidad si $|\varepsilon|$ es pequeño.
Da matrices reales rectangulares $A\in\mathbb R^{1\times2}$ y $B\in\mathbb R^{2\times1}$ tales que $AB=I_1$ pero $BA\ne I_2$. Explica por qué no contradice el resultado…
Da matrices reales rectangulares $A\in\mathbb R^{1\times2}$ y $B\in\mathbb R^{2\times1}$ tales que $AB=I_1$ pero $BA\ne I_2$. Explica por qué no contradice el resultado para matrices cuadradas.