Modelización y factorización LU
Un laboratorio debe preparar una mezcla con una concentración exacta, una red de tuberías reparte caudales y una simulación resuelve el mismo sistema miles de veces cambiando solo el lado derecho. En los tres casos hay que hacer dos cosas: traducir la situación a ecuaciones lineales y resolverlas sin repetir trabajo. ¿Cómo se plantea bien un modelo y cómo se evita rehacer la eliminación de Gauss cada vez?
Del problema al sistema lineal
Modelizar es elegir incógnitas con significado físico, escribir una ecuación por cada ley de conservación o condición dada y comprobar al final que la solución tiene sentido en el contexto (por ejemplo, que no sea negativa).
Una mezcla de $10$ litros contiene disoluciones con concentraciones del $20\%$ y del $50\%$ de un soluto. La mezcla final debe tener concentración del $32\%$. Suponiendo…
Una mezcla de $10$ litros contiene disoluciones con concentraciones del $20\%$ y del $50\%$ de un soluto. La mezcla final debe tener concentración del $32\%$. Suponiendo volúmenes aditivos, plantea y resuelve un sistema para los litros de cada disolución.
El esquema muestra qué volúmenes y concentraciones intervienen en la mezcla.
Un taller fabrica piezas A y B. Cada A requiere $2$ horas de máquina y $1$ de montaje; cada B, $1$ de máquina y $2$ de montaje. Se usan exactamente $8$ y $7$ horas,…
Un taller fabrica piezas A y B. Cada A requiere $2$ horas de máquina y $1$ de montaje; cada B, $1$ de máquina y $2$ de montaje. Se usan exactamente $8$ y $7$ horas, respectivamente. ¿Cuántas piezas de cada tipo se fabrican?
Redes e interpolación
En una red, en cada nodo lo que entra es igual a lo que sale (ley de nodos). En interpolación, cada punto por el que debe pasar una curva impone una ecuación lineal en sus coeficientes.
En una red circulan caudales $x,y,z$ en litros por segundo. En el nodo A entran $10$ y salen $x,y$; en B entra $x$ y salen $z,4$; en C entran $y,z$ y salen $6$. Plantea…
En una red circulan caudales $x,y,z$ en litros por segundo. En el nodo A entran $10$ y salen $x,y$; en B entra $x$ y salen $z,4$; en C entran $y,z$ y salen $6$. Plantea balances, resuelve y exige caudales no negativos.
Las flechas fijan el sentido positivo de cada caudal.
Determina $a,b,c$ de $p(t)=at^2+bt+c$ sabiendo que $p(0)=1,p(1)=2,p(2)=5$. Escribe el sistema matricial e interpreta su unicidad.
Determina $a,b,c$ de $p(t)=at^2+bt+c$ sabiendo que $p(0)=1,p(1)=2,p(2)=5$. Escribe el sistema matricial e interpreta su unicidad.
Modelos de producción y ajuste de datos
En un modelo de dos sectores, cada sector consume parte de su propia producción y de la del otro. Si $x$ es la producción, $Cx$ el consumo interno y $d$ la demanda externa, el equilibrio es $x=Cx+d$.
Un modelo de dos sectores satisface $x=Cx+d$, con $C=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}1\\0{,}3&0{,}2\end{pmatrix}$ y demanda $d=(7,5)^T$. Calcula la producción total $x$ y…
Un modelo de dos sectores satisface $x=Cx+d$, con $C=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}1\\0{,}3&0{,}2\end{pmatrix}$ y demanda $d=(7,5)^T$. Calcula la producción total $x$ y verifica que cubre demanda más consumo interno.
Un modelo de equilibrio es $x=Cx+d$, con $C=\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}$, $d=(1,1)^T$ y $a\ge0$. Discute existencia algebraica de soluciones y cuáles tienen…
Un modelo de equilibrio es $x=Cx+d$, con $C=\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}$, $d=(1,1)^T$ y $a\ge0$. Discute existencia algebraica de soluciones y cuáles tienen componentes no negativas.
Tres sensores pretenden medir exactamente una magnitud $q(t)=a+bt$. Dan $q(0)=1,q(1)=3,q(2)=6$. Plantea el sistema, prueba que no admite ajuste exacto y determina la…
Tres sensores pretenden medir exactamente una magnitud $q(t)=a+bt$. Dan $q(0)=1,q(1)=3,q(2)=6$. Plantea el sistema, prueba que no admite ajuste exacto y determina la corrección del tercer dato que lo haría compatible manteniendo los otros dos.
Factorización LU
Cuando se resuelve $Ax=b$ muchas veces con la misma $A$ y distintos $b$, repetir Gauss es un desperdicio. La eliminación se puede guardar una vez como $A=LU$.
Comprueba la factorización $A=LU$ para $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}$ y $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&6\end{pmatrix}$.
Comprueba la factorización $A=LU$ para $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}$ y $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&6\end{pmatrix}$.
Resuelve $Ly=b$ para $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\-1&3&1\end{pmatrix}$ y $b=(1,4,2)^T$ por sustitución progresiva.
Resuelve $Ly=b$ para $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\-1&3&1\end{pmatrix}$ y $b=(1,4,2)^T$ por sustitución progresiva.
Obtén una factorización $A=LU$, con diagonal de $L$ unitaria, para $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$. Úsala para resolver $Ax=(3,9)^T$.
Obtén una factorización $A=LU$, con diagonal de $L$ unitaria, para $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$. Úsala para resolver $Ax=(3,9)^T$.
Pivotes, permutaciones y unicidad
No toda matriz admite $A=LU$ sin intercambiar filas: si aparece un pivote nulo, hace falta permutar.
Para $A=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}$, encuentra $P,L,U$ con $PA=LU$, donde $P$ intercambia las filas y $L$ tiene diagonal unitaria. Resuelve $Ax=(1,5)^T$ con…
Para $A=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}$, encuentra $P,L,U$ con $PA=LU$, donde $P$ intercambia las filas y $L$ tiene diagonal unitaria. Resuelve $Ax=(1,5)^T$ con esos factores.
Una factorización conocida es $A=LU$, con $L=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$ y $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}$. Resuelve simultáneamente $AX=B$, para…
Una factorización conocida es $A=LU$, con $L=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$ y $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}$. Resuelve simultáneamente $AX=B$, para $B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, mediante dos sistemas triangulares matriciales.
Obtén una factorización $A=LU$ con diagonal unitaria en $L$ para $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\2&2&3\end{pmatrix}$ y úsala para resolver $Ax=(4,10,7)^T$.
Obtén una factorización $A=LU$ con diagonal unitaria en $L$ para $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\2&2&3\end{pmatrix}$ y úsala para resolver $Ax=(4,10,7)^T$.
Vuelve al principio: un laboratorio o una red se traducen a $Ax=b$, y si $A$ se repite se factoriza una vez como $LU$ (o $PA=LU$) y cada nuevo $b$ cuesta solo dos sustituciones triangulares.
Demuestra que, si una matriz invertible admite $A=L_1U_1=L_2U_2$ con $L_1,L_2$ triangulares inferiores de diagonal unitaria y $U_1,U_2$ triangulares superiores, esa…
Demuestra que, si una matriz invertible admite $A=L_1U_1=L_2U_2$ con $L_1,L_2$ triangulares inferiores de diagonal unitaria y $U_1,U_2$ triangulares superiores, esa factorización es única.