Universidad · Álgebra I
Espacios vectoriales · Estructura vectorial
Espacios y subespacios reales y complejos
Espacios vectoriales sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$ Criterio de subespacio Conjuntos que no son subespacios Subespacios en $\mathbb C^n$, polinomios, matrices y funciones Resultados más finos sobre subespacios Resumen
En un nodo de un circuito, la suma de corrientes que entran es igual a la que sale. Si dos situaciones cumplen esa ley, ¿la cumple también su suma? ¿Y una situación escalada al doble? Si la respuesta es sí, el conjunto de situaciones admisibles tiene estructura de espacio vectorial dentro de otro mayor. Este apartado enseña a decidirlo con precisión y a reconocer cuándo falla.
Espacios vectoriales sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$
Sea $\mathbb K=\mathbb R$ o $\mathbb C$. Un espacio vectorial sobre $\mathbb K$ es un conjunto $V$ con una suma $V\times V\to V$ y un producto por escalares $\mathbb K\times V\to V$ que cumplen: la suma es asociativa y conmutativa, existe un vector cero $0$, cada $v$ tiene opuesto $-v$, y además $\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v$, $(\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v$, $(\lambda\mu)v=\lambda(\mu v)$ y $1\cdot v=v$.
Ejemplos que usaremos: $\mathbb R^n$, $\mathbb C^n$, los polinomios $\mathcal P_n(\mathbb R)$ de grado a lo sumo $n$, las matrices $M_n(\mathbb R)$ y las funciones continuas $C(\mathbb R)$.
El cuerpo de escalares importa. $\mathbb C$ es a la vez espacio complejo (dimensión 1, base $\{1\}$) y espacio real (dimensión 2, base $\{1,i\}$). El mismo conjunto con escalares distintos da estructuras distintas, y de ello depende qué subconjuntos son subespacios.
Plano complejo con los vectores 1 e i como base del espacio real C y el vector z igual a a más bi como combinación de ambos.
1
i
z = a + bi
a
b
¿Cuántos números reales hacen falta para describir un elemento de $\mathbb C^2$ si los escalares son reales? ¿Y si son complejos?
Ver respuesta Con escalares reales hacen falta 4 (dos partes reales y dos imaginarias); con escalares complejos bastan 2 coordenadas complejas. La dimensión depende del cuerpo.
★☆☆ Sin empezar
En un nodo de un circuito, las corrientes con signo satisfacen $i_1+i_2-i_3=0$. ¿El conjunto de ternas admisibles es un subespacio real? Relaciona tu respuesta con el… En un nodo de un circuito, las corrientes con signo satisfacen $i_1+i_2-i_3=0$. ¿El conjunto de ternas admisibles es un subespacio real? Relaciona tu respuesta con el principio de superposición.
Resolver
Criterio de subespacio
$U\subseteq V$ es subespacio si y solo si:
$0\in U$ (en particular, $U\neq\varnothing$).
$u,v\in U\Rightarrow u+v\in U$ (cerrado para la suma).
$\lambda\in\mathbb K,\ u\in U\Rightarrow \lambda u\in U$ (cerrado para escalares).
Las condiciones 2 y 3 equivalen a: $\lambda u+\mu v\in U$ para todos $u,v\in U$ y $\lambda,\mu\in\mathbb K$.
¿Por qué? Los axiomas (asociatividad, distributividad…) se heredan de $V$. Solo hay que garantizar que las operaciones no «sacan» de $U$. El opuesto sale de $(-1)u$ y el cero de $0\cdot u$.
Recta y = 2x que pasa por el origen, con dos vectores sobre ella y su suma, también sobre la recta.
u
u + v
y = 2x
Cero: $(0,0)$ cumple $0=2\cdot0$.
Suma: si $y_1=2x_1$ e $y_2=2x_2$, entonces $y_1+y_2=2(x_1+x_2)$, luego $(x_1+x_2,y_1+y_2)\in U$.
Escalares: comprueba tú que $\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)$ cumple $\lambda y=2\lambda x$.
Se cumple porque multiplicando $y=2x$ por $\lambda$ se obtiene $\lambda y=2(\lambda x)$. Es subespacio y $U=\{t(1,2):t\in\mathbb R\}$.
Siguiente paso (1/4)
Que dos vectores concretos de $U$ sumen dentro de $U$ no demuestra nada: hay que hacerlo con elementos genéricos. En cambio, un solo contraejemplo basta para probar que algo no es subespacio.
Quieres decidir si $U$ es subespacio y descubres que $0\notin U$. ¿Hace falta comprobar las otras dos condiciones?
Ver respuesta No. Falla la primera condición, así que $U$ no es subespacio. Esta es la vía más rápida para descartar.
★☆☆ Sin empezar
Decide si $U=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=2x\}$ es subespacio de $\mathbb R^2$. Justifica las tres condiciones de subespacio. La recta representada permite interpretar… Decide si $U=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=2x\}$ es subespacio de $\mathbb R^2$. Justifica las tres condiciones de subespacio.
La recta representada permite interpretar geométricamente la condición.
x
y
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
1
2
3
(1, 2)
y = 2x
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★☆☆ Sin empezar
Decide si los polinomios reales de grado a lo sumo tres que se anulan en $0$ forman un subespacio de $\mathcal P_3(\mathbb R)$. Decide si los polinomios reales de grado a lo sumo tres que se anulan en $0$ forman un subespacio de $\mathcal P_3(\mathbb R)$.
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★★☆ Sin empezar
Demuestra que las matrices simétricas reales $2\times2$ forman un subespacio de $M_2(\mathbb R)$ y da una parametrización sin redundancia. Demuestra que las matrices simétricas reales $2\times2$ forman un subespacio de $M_2(\mathbb R)$ y da una parametrización sin redundancia.
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Conjuntos que no son subespacios
Una estrategia sistemática: primero mira si contiene al $0$; si lo contiene, busca un contraejemplo a la suma o al producto por escalares (incluidos escalares negativos o complejos).
$A=\{(x,y):x+y=1\}$ no contiene a $(0,0)$ porque $0+0\neq1$. Lo mismo ocurre con $U_a=\{x-2y+z=a\}$ si $a\neq0$. En cambio, para $a=0$ es un plano por el origen: subespacio. Las ecuaciones lineales homogéneas definen subespacios.
$Q=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0\}$ contiene al cero y es cerrado para la suma, pero $(-1)(1,1)=(-1,-1)\notin Q$. Hace falta la tercera condición.
Unión de los dos planos coordenados x igual a cero e y igual a cero, representados como dos rectas que se cortan; la suma de un vector de cada una queda fuera.
u + v ∉ S
u
v
$S$ es la unión de los planos $x=0$ e $y=0$. Contiene al cero y es cerrado para escalares, pues $(\lambda x)(\lambda y)=\lambda^2xy=0$.
Toma $u=(1,0,0)\in S$ y $v=(0,1,0)\in S$. Su suma es $(1,1,0)$ y $1\cdot1\neq0$, luego $u+v\notin S$. Falla la suma.
Siguiente paso (1/2) ★☆☆ Sin empezar
¿Es $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\}$ un subespacio? Explica el papel del vector cero. ¿Es $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\}$ un subespacio? Explica el papel del vector cero.
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★☆☆ Sin empezar
En $\mathbb R^2$, estudia si el conjunto $Q=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0\}$ es un subespacio. En $\mathbb R^2$, estudia si el conjunto $Q=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0\}$ es un subespacio.
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★★☆ Sin empezar
Estudia si $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:xy=0\}$ es un subespacio. Si no lo es, identifica una propiedad que falla. El esquema muestra los dos planos que componen el… Estudia si $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:xy=0\}$ es un subespacio. Si no lo es, identifica una propiedad que falla.
El esquema muestra los dos planos que componen el conjunto.
z
x
y
O
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
x = 0
y = 0
x = 0 ∪ y = 0
ℝ³
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Subespacios en $\mathbb C^n$, polinomios, matrices y funciones
El criterio es el mismo en cualquier espacio; solo cambia cómo se escriben los elementos.
Soluciones de un sistema homogéneo $Ax=0$ en $\mathbb K^n$.
Polinomios que se anulan en puntos fijos: $\{p\in\mathcal P_n: p(a)=0\}$.
Matrices simétricas (o antisimétricas, o diagonales) en $M_n(\mathbb R)$.
Funciones pares, o funciones continuas con $f(0)=0$, en $C(\mathbb R)$.
¿Por qué? En todos los casos la condición es lineal y homogénea: se conserva al sumar y al multiplicar por escalares.
Esquema de cuatro espacios ambiente con un ejemplo de subespacio en cada uno: soluciones de un sistema homogéneo, polinomios que se anulan en un punto, matrices simétricas y funciones pares.
Kⁿ
soluciones de Ax = 0
Pₙ (polinomios)
p(a) = 0
Mₙ(R) (matrices)
simétricas: A = Aᵀ
C(R) (funciones)
pares: f(−x) = f(x)
Para describir un subespacio conviene parametrizarlo : escribirlo como $\{t_1v_1+\dots+t_kv_k\}$ con parámetros libres.
Cero: $0=i\cdot0$. Suma: $w_1+w_2=i(z_1+z_2)$. Escalar $\lambda\in\mathbb C$: $\lambda w=i(\lambda z)$.
Es subespacio complejo y $U=\{z(1,i):z\in\mathbb C\}$, generado por $(1,i)$.
Siguiente paso (1/2) ★☆☆ Sin empezar
Considera $U=\{(z,w)\in\mathbb C^2:w=iz\}$. Comprueba si es subespacio sobre $\mathbb C$ y escribe un generador. Considera $U=\{(z,w)\in\mathbb C^2:w=iz\}$. Comprueba si es subespacio sobre $\mathbb C$ y escribe un generador.
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★★☆ Sin empezar
Para $a\in\mathbb R$, estudia si $U_a=\{p\in\mathcal P_2(\mathbb R):p(1)=a\cdot p(0)\}$ es subespacio y parametrízalo. Para $a\in\mathbb R$, estudia si $U_a=\{p\in\mathcal P_2(\mathbb R):p(1)=a\cdot p(0)\}$ es subespacio y parametrízalo.
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★★★ Sin empezar
En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera $U_a=\{p:p(0)=0,\ p(a)=0\}$. Encuentra una base y su dimensión para cada $a\in\mathbb R$. En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera $U_a=\{p:p(0)=0,\ p(a)=0\}$. Encuentra una base y su dimensión para cada $a\in\mathbb R$.
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Resultados más finos sobre subespacios
La intersección de subespacios es siempre subespacio. La unión $U\cup W$ lo es si y solo si $U\subseteq W$ o $W\subseteq U$.
Idea de la prueba. Si $U\not\subseteq W$ y $W\not\subseteq U$, toma $u\in U\setminus W$ y $w\in W\setminus U$. Si $u+w\in U$, entonces $w=(u+w)-u\in U$, contradicción; si $u+w\in W$, entonces $u\in W$, contradicción. Luego $u+w\notin U\cup W$.
Dos subespacios U y W, con vectores u en U fuera de W y w en W fuera de U, cuya suma queda fuera de la unión.
U
W
u + w
Si $A\in M_n(\mathbb R)$, $C(A)=\{X: AX=XA\}$ es subespacio, pues $A(\lambda X+\mu Y)=\lambda AX+\mu AY=\lambda XA+\mu YA=(\lambda X+\mu Y)A$. Para $A=\operatorname{diag}(1,2)$, $AX=XA$ da $\begin{pmatrix}a&b\\2c&2d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&2b\\c&2d\end{pmatrix}$, luego $b=c=0$: $C(A)$ son las matrices diagonales.
Si $S\neq\varnothing$ y $u-v\in S$ para todo $u,v\in S$, se obtiene $0=u-u\in S$, opuestos y sumas: $S$ es subgrupo aditivo. Para ser subespacio real falta el producto por escalares. Por ejemplo, $\mathbb Z^2\subset\mathbb R^2$ es cerrado para la resta pero $\tfrac12(1,0)\notin\mathbb Z^2$. Si se exigiera además cerrado para escalares reales, o solo para $\lambda\in\mathbb Q$ no basta: la condición adicional es $\lambda u\in S$ para todo $\lambda\in\mathbb K$.
Si el cuerpo de escalares solo tuviera $0$ y $1$, ¿bastaría la condición $u-v\in S$ para que $S\neq\varnothing$ fuera subespacio?
Ver respuesta Sí: los únicos escalares son $0$ y $1$, y $0\cdot u=0=u-u$ y $1\cdot u=u$ están en $S$. Con los reales, no.
★★☆ Sin empezar
Un sistema impone $x+y+z=0$ y $2x-y+z=0$. Parametriza su conjunto de estados y comprueba que es subespacio. Un sistema impone $x+y+z=0$ y $2x-y+z=0$. Parametriza su conjunto de estados y comprueba que es subespacio.
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★★★ Sin empezar
Demuestra que la unión de dos subespacios $U,W$ de un espacio vectorial es subespacio si y solo si $U\subseteq W$ o $W\subseteq U$. Demuestra que la unión de dos subespacios $U,W$ de un espacio vectorial es subespacio si y solo si $U\subseteq W$ o $W\subseteq U$.
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★★★ Sin empezar
Sean $V$ un espacio real y $S\ne\varnothing$ tal que $u-v\in S$ para cualesquiera $u,v\in S$. ¿Basta esta condición para que $S$ sea subespacio? Prueba tu conclusión y… Sean $V$ un espacio real y $S\ne\varnothing$ tal que $u-v\in S$ para cualesquiera $u,v\in S$. ¿Basta esta condición para que $S$ sea subespacio? Prueba tu conclusión y explica qué condición adicional sobre escalares lo garantizaría.
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Resumen
Un subespacio de un espacio sobre $\mathbb K$ es un subconjunto no vacío cerrado para suma y producto por escalares de $\mathbb K$; equivale a $0\in U$ más cierres.
Contraejemplo rápido: si $0\notin U$, no es subespacio. Una ecuación homogénea y lineal define subespacio; una no homogénea, no.
El cuerpo importa: $\{\operatorname{Re}z=0\}$ es subespacio real de $\mathbb C$, no complejo.
Parametriza un subespacio como $\{t_1v_1+\dots+t_kv_k\}$; la intersección de subespacios es subespacio, la unión solo si uno contiene al otro.
Cerrado para la resta no basta: hace falta cerrar también para escalares.
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