Proyecciones y mínimos cuadrados
Mides tres veces la misma constante y obtienes $1$, $2$ y $6$. No existe ningún número que sea a la vez $1$, $2$ y $6$: el sistema $x=1,\ x=2,\ x=6$ no tiene solución. Aun así, necesitas dar un valor. ¿Cuál es el mejor y en qué sentido? La respuesta es geométrica: el mejor valor es el que deja el vector de medidas lo más cerca posible del subespacio de los resultados alcanzables, y ese punto es una proyección ortogonal.
Proyección ortogonal sobre un subespacio
Dado un vector $b$ y un subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ (con el producto escalar usual), buscamos el punto de $W$ más cercano a $b$. Intuitivamente, es el pie de la perpendicular trazada desde $b$ hasta $W$.
Proyecta ortogonalmente $b=(2,1)$ sobre $W=\langle(1,0)\rangle$ en $\mathbb R^2$. Calcula también el residual $r=b-p$ y la distancia de $b$ a $W$. La proyección es el…
Proyecta ortogonalmente $b=(2,1)$ sobre $W=\langle(1,0)\rangle$ en $\mathbb R^2$. Calcula también el residual $r=b-p$ y la distancia de $b$ a $W$.
La proyección es el pie de la perpendicular sobre el subespacio indicado.
Calcula la proyección euclídea de $b=(3,1)$ sobre la recta vectorial generada por $u=(1,1)$.
Calcula la proyección euclídea de $b=(3,1)$ sobre la recta vectorial generada por $u=(1,1)$.
Sea $W$ generado por los vectores ortonormales $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$, $q_2=(0,0,1)$. Proyecta $b=(2,0,1)$ sobre $W$.
Sea $W$ generado por los vectores ortonormales $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$, $q_2=(0,0,1)$. Proyecta $b=(2,0,1)$ sobre $W$.
La proyección es la mejor aproximación
Halla el punto del plano $z=0$ más próximo a $P=(2,-1,3)$ y la distancia mínima. Justifica geométricamente.
Halla el punto del plano $z=0$ más próximo a $P=(2,-1,3)$ y la distancia mínima. Justifica geométricamente.
Proyecta $b=(1,2,3)$ sobre $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ y calcula la distancia al plano.
Proyecta $b=(1,2,3)$ sobre $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ y calcula la distancia al plano.
Halla el punto de la recta afín $L=(1,0)+t(1,1)$ más próximo a $b=(0,2)$. Calcula la distancia y verifica la perpendicularidad del residual.
Halla el punto de la recta afín $L=(1,0)+t(1,1)$ más próximo a $b=(0,2)$. Calcula la distancia y verifica la perpendicularidad del residual.
Mínimos cuadrados y ecuaciones normales
Un sistema $Ax=b$ con más ecuaciones que incógnitas suele ser incompatible: $b$ no está en el espacio columna $\operatorname{Col}(A)$. Como no podemos hacer el error cero, lo hacemos lo más pequeño posible.
Tres mediciones de una misma constante son $1,2,6$. Plantea el ajuste por mínimos cuadrados como proyección sobre la recta generada por $(1,1,1)$ y encuentra la…
Tres mediciones de una misma constante son $1,2,6$. Plantea el ajuste por mínimos cuadrados como proyección sobre la recta generada por $(1,1,1)$ y encuentra la constante ajustada.
Resuelve por mínimos cuadrados el sistema $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. Calcula el residual y comprueba su ortogonalidad a…
Resuelve por mínimos cuadrados el sistema $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. Calcula el residual y comprueba su ortogonalidad a la columna.
Resuelve por mínimos cuadrados $Ax=b$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $b=(1,2,2)$. Calcula el error cuadrático mínimo.
Resuelve por mínimos cuadrados $Ax=b$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $b=(1,2,2)$. Calcula el error cuadrático mínimo.
Ajuste de rectas, pesos y funciones
Ajustar una recta $y=a+bx$ a puntos $(x_i,y_i)$ es resolver por mínimos cuadrados el sistema con $A$ de filas $(1,\ x_i)$, incógnitas $(a,b)$ y $b=(y_i)$. Se minimizan los cuadrados de los residuos $y_i-(a+bx_i)$ (observado menos ajustado).
Ajusta por mínimos cuadrados la recta $y=a+bx$ a los datos $(0,1),(1,2),(2,2)$. Calcula los residuos con la convención observado menos ajustado. La nube de puntos…
Ajusta por mínimos cuadrados la recta $y=a+bx$ a los datos $(0,1),(1,2),(2,2)$. Calcula los residuos con la convención observado menos ajustado.
La nube de puntos muestra por qué el ajuste requiere aproximación.
Dos mediciones de una constante son $1$ y $3$, con pesos de confianza $1$ y $3$. Minimiza $(c-1)^2+3(c-3)^2$ mediante un producto escalar ponderado y calcula el mínimo.
Dos mediciones de una constante son $1$ y $3$, con pesos de confianza $1$ y $3$. Minimiza $(c-1)^2+3(c-3)^2$ mediante un producto escalar ponderado y calcula el mínimo.
Aproxima $f(x)=x^2$ por un polinomio de grado a lo sumo $1$ en la norma $\|g\|^2=\int_{-1}^1g(x)^2\,dx$. Usa los momentos $\int1=2$, $\int x^2=2/3$, $\int x^4=2/5$ y la…
Aproxima $f(x)=x^2$ por un polinomio de grado a lo sumo $1$ en la norma $\|g\|^2=\int_{-1}^1g(x)^2\,dx$. Usa los momentos $\int1=2$, $\int x^2=2/3$, $\int x^4=2/5$ y la anulación de momentos impares en ese intervalo.
Matriz de proyección y columnas dependientes
Obtén la matriz de la proyección ortogonal sobre $W=\langle(1,2)\rangle$ y verifica que es simétrica e idempotente.
Obtén la matriz de la proyección ortogonal sobre $W=\langle(1,2)\rangle$ y verifica que es simétrica e idempotente.
Encuentra todos los minimizadores de $\left\|\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}x-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right\|^2$. Explica por qué la predicción ajustada es…
Encuentra todos los minimizadores de $\left\|\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}x-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right\|^2$. Explica por qué la predicción ajustada es única aunque los coeficientes no lo sean.
Sea $A$ real de rango menor que su número de columnas. Demuestra que siempre existe solución de mínimos cuadrados; describe todos los minimizadores a partir de uno y…
Sea $A$ real de rango menor que su número de columnas. Demuestra que siempre existe solución de mínimos cuadrados; describe todos los minimizadores a partir de uno y justifica la unicidad de $Ax_*$.