Formas cuadráticas, signo y ejes principales
La energía elástica de un muelle en dos dimensiones, la inercia de un sólido o la curvatura de una superficie cerca de un punto crítico se escriben como una expresión cuadrática en varias variables. Dos preguntas se repiten: ¿esa cantidad es siempre positiva o puede cambiar de signo? Y, si la dibujas a nivel constante, ¿qué curva obtienes y hacia dónde apunta? Con el teorema espectral, ambas se responden leyendo los autovalores de una matriz simétrica.
Forma cuadrática y matriz simétrica
Cada monomio cuadrado $x_i^2$ aporta su coeficiente a $a_{ii}$. Cada término mixto $c\,x_ix_j$ (con $i\neq j$) se reparte a partes iguales entre $a_{ij}$ y $a_{ji}$, porque en la suma aparecen los dos: $a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i=2a_{ij}x_ix_j$. Por eso $a_{ij}=c/2$.
Asocia una matriz simétrica a $q(x,y)=3x^2+4xy+2y^2$. Explica por qué las entradas fuera de la diagonal no son $4$.
Asocia una matriz simétrica a $q(x,y)=3x^2+4xy+2y^2$. Explica por qué las entradas fuera de la diagonal no son $4$.
Escribe la matriz simétrica de $q(x,y)=x^2+4y^2$, clasifica su signo y describe la curva de nivel $q=1$. La curva de nivel permite relacionar la expresión algebraica con…
Escribe la matriz simétrica de $q(x,y)=x^2+4y^2$, clasifica su signo y describe la curva de nivel $q=1$.
La curva de nivel permite relacionar la expresión algebraica con su geometría.
Clasificación del signo
Un vector que demuestra que $q$ es indefinida es, por ejemplo, uno de valor positivo y otro de valor negativo. Para $x^2-y^2$: $q(1,0)=1>0$ y $q(0,1)=-1<0$.
Clasifica el signo de $q(x,y,z)=x^2+y^2$ en $\mathbb R^3$. Determina todos los vectores donde se anula.
Clasifica el signo de $q(x,y,z)=x^2+y^2$ en $\mathbb R^3$. Determina todos los vectores donde se anula.
Clasifica $q(x,y)=x^2-y^2$ y encuentra dos vectores que demuestren tu clasificación. Describe el nivel $q=1$.
Clasifica $q(x,y)=x^2-y^2$ y encuentra dos vectores que demuestren tu clasificación. Describe el nivel $q=1$.
Clasifica el signo de $q(x,y)=x^2+6xy+9y^2$ y describe geométricamente su conjunto de ceros.
Clasifica el signo de $q(x,y)=x^2+6xy+9y^2$ y describe geométricamente su conjunto de ceros.
Familias con parámetro
Cuando la matriz depende de un parámetro, calcula los autovalores en función de él (o usa los menores principales) y decide por casos. Los cambios de signo ocurren cuando algún autovalor pasa por $0$, es decir, cuando $\det A=0$.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ la forma $q_a(x,y)=x^2+2axy+y^2$ es definida positiva, semidefinida positiva no definida o indefinida.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ la forma $q_a(x,y)=x^2+2axy+y^2$ es definida positiva, semidefinida positiva no definida o indefinida.
Clasifica, para todo $a\in\mathbb R$, el signo de $q_a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2axy$. Incluye los subespacios donde se anula en los casos semidefinidos.
Clasifica, para todo $a\in\mathbb R$, el signo de $q_a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2axy$. Incluye los subespacios donde se anula en los casos semidefinidos.
Ejes principales y cónicas
Elimina el término mixto de $q(x,y)=4xy$ mediante un cambio ortogonal y describe el nivel $q=1$ en las nuevas coordenadas.
Elimina el término mixto de $q(x,y)=4xy$ mediante un cambio ortogonal y describe el nivel $q=1$ en las nuevas coordenadas.
Encuentra los ejes principales y las longitudes de los semiejes de la elipse $2x^2+2xy+2y^2=1$ mediante un cambio ortogonal. La elipse está dibujada en las coordenadas…
Encuentra los ejes principales y las longitudes de los semiejes de la elipse $2x^2+2xy+2y^2=1$ mediante un cambio ortogonal.
La elipse está dibujada en las coordenadas originales; debes encontrar sus ejes principales.
Extremos sobre la esfera y cónicas trasladadas
La gráfica muestra $q(\cos t,\sin t)$ para $q=5x^2-4xy+2y^2$: oscila entre un mínimo y un máximo, que son los dos autovalores.
Cónicas con centro desplazado
Si $q$ tiene términos lineales, primero se traslada el origen al centro (donde se anula el gradiente) y después se giran los ejes.
Clasifica $q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2z^2+2xy$ y encuentra su menor valor sobre la esfera unidad.
Clasifica $q(x,y,z)=2x^2+2y^2+2z^2+2xy$ y encuentra su menor valor sobre la esfera unidad.
Una energía es $q(x,y)=5x^2-4xy+2y^2$. Demuestra que es estrictamente positiva fuera del origen y da la mejor constante $c$ tal que $q(x,y)\ge c(x^2+y^2)$ para todo…
Una energía es $q(x,y)=5x^2-4xy+2y^2$. Demuestra que es estrictamente positiva fuera del origen y da la mejor constante $c$ tal que $q(x,y)\ge c(x^2+y^2)$ para todo $(x,y)$.
Sea $A$ real simétrica y semidefinida positiva. Demuestra que $x^{\mathsf T}Ax=0$ si y solo si $Ax=0$. Da un contraejemplo si se permite que $A$ sea indefinida.
Sea $A$ real simétrica y semidefinida positiva. Demuestra que $x^{\mathsf T}Ax=0$ si y solo si $Ax=0$. Da un contraejemplo si se permite que $A$ sea indefinida.