Un circuito con tres mallas, una red de tráfico o el ajuste de una reacción química acaban en lo mismo: varias ecuaciones lineales con varias incógnitas. A veces hay una única solución, a veces ninguna y a veces infinitas. ¿Cómo saber cuál ocurre, y cómo describir todas las soluciones sin adivinarlas? La eliminación de Gauss responde a ambas preguntas con un algoritmo mecánico.
Sistemas, matriz ampliada y geometría
Cada ecuación de dos incógnitas es una recta y cada una de tres es un plano. Resolver el sistema es encontrar los puntos comunes. Con dos rectas del plano solo hay tres situaciones:
Practica★☆☆Sin empezar
Escribe la matriz ampliada del sistema $x-2y+z=0$, $3x+y-z=4$ e indica sus dimensiones.
Escribe la matriz ampliada del sistema $x-2y+z=0$, $3x+y-z=4$ e indica sus dimensiones.
La eliminación de Gauss usa la operación (3) para hacer ceros bajo cada pivote, columna a columna. La variante de Gauss-Jordan sigue haciendo ceros también por encima y normaliza los pivotes.
Practica★☆☆Sin empezar
Resuelve el sistema triangular $x+2y-z=1$, $y+z=3$, $2z=4$.
Resuelve el sistema triangular $x+2y-z=1$, $y+z=3$, $2z=4$.
Al escalonar, la última columna dice todo. Una fila de la forma $(0\ \cdots\ 0\,|\,c)$ con $c\neq0$ equivale a $0=c$: el sistema es incompatible. Si no aparece ninguna, es compatible, y el número de soluciones depende de las variables libres.
Practica★☆☆Sin empezar
Describe todas las soluciones de $x+2y=4$, $2x+4y=8$ mediante un parámetro real.
Describe todas las soluciones de $x+2y=4$, $2x+4y=8$ mediante un parámetro real.
Una matriz ampliada reducida es $\begin{pmatrix}1&0&2&0&3\\0&1&-1&0&2\\0&0&0&1&-1\end{pmatrix}$. Identifica variables pivote y libres y expresa todas las soluciones con…
Una matriz ampliada reducida es $\begin{pmatrix}1&0&2&0&3\\0&1&-1&0&2\\0&0&0&1&-1\end{pmatrix}$. Identifica variables pivote y libres y expresa todas las soluciones con incógnitas $x_1,x_2,x_3,x_4$.
Geométricamente, $S$ es el subespacio $\ker A$ desplazado hasta pasar por $x_0$: una recta si la dimensión es $1$, un plano si es $2$.
Dos consecuencias inmediatas: dos conjuntos solución $S_1,S_2$ de la misma $A$ son siempre iguales o disjuntos (si comparten un punto $x_1$, ambos son $x_1+\ker A$), y si $b_1,b_2$ cumplen que ambos son compatibles, coinciden exactamente cuando $b_1=b_2$.
Practica★☆☆Sin empezar
Resuelve sobre $\mathbb R$ el sistema homogéneo $x-y+z=0$, $y-2z=0$.
Resuelve sobre $\mathbb R$ el sistema homogéneo $x-y+z=0$, $y-2z=0$.
Una parametrización es sin redundancia cuando usa tantos parámetros como variables libres: $n-r$ de ellos, uno por cada columna sin pivote. Los vectores que multiplican a los parámetros forman entonces una base de $\ker A$.
Algunos argumentos de rango que conviene saber manejar:
¿Por qué? Pivote en cada fila impide que aparezca $0=c$ con $c\neq0$; pivote en cada columna elimina las variables libres. El caso $A\in\mathbb R^{4\times6}$ de rango $4$ tiene dos libres, y se puede elegir la sexta libre igual a $0$ y la otra distinta de $0$.
Practica★★☆Sin empezar
Un sistema real homogéneo tiene cinco incógnitas y una matriz de rango tres. Indica cuántos parámetros libres hay y si puede tener una única solución. Justifica.
Un sistema real homogéneo tiene cinco incógnitas y una matriz de rango tres. Indica cuántos parámetros libres hay y si puede tener una única solución. Justifica.
Resuelve $x+y+z+w=2$, $x-y+z-w=0$ y da una parametrización sin redundancia del conjunto solución. El esquema organiza los signos de las dos restricciones lineales.
Resuelve $x+y+z+w=2$, $x-y+z-w=0$ y da una parametrización sin redundancia del conjunto solución.
El esquema organiza los signos de las dos restricciones lineales.
Resuelve sobre $\mathbb R$ $x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $x_2+2x_3+3x_4=0$, $x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0$. Encuentra una base del conjunto solución y comprueba su independencia.
Resuelve sobre $\mathbb R$ $x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $x_2+2x_3+3x_4=0$, $x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0$. Encuentra una base del conjunto solución y comprueba su independencia.
Los problemas más exigentes de este apartado piden razonar con los teoremas anteriores. Tres ideas bastan casi siempre: escalonar y contar pivotes, usar $x_0+\ker A$, y construir el vector pedido eligiendo valores para las variables libres.
Practica★★★Sin empezar
Sea $A\in\mathbb R^{m\times n}$. Demuestra que $Ax=b$ tiene solución única para todo $b\in\mathbb R^m$ si y solo si $m=n$ y $A$ es invertible.
Sea $A\in\mathbb R^{m\times n}$. Demuestra que $Ax=b$ tiene solución única para todo $b\in\mathbb R^m$ si y solo si $m=n$ y $A$ es invertible.
Sea $A\in\mathbb R^{3\times3}$ con filas $r_1,r_2,r_3$, donde $r_3=r_1-2r_2$ y $r_1,r_2$ son independientes. Caracteriza todos los $b=(b_1,b_2,b_3)^T$ para los que…
Sea $A\in\mathbb R^{3\times3}$ con filas $r_1,r_2,r_3$, donde $r_3=r_1-2r_2$ y $r_1,r_2$ son independientes. Caracteriza todos los $b=(b_1,b_2,b_3)^T$ para los que $Ax=b$ es compatible y la dimensión de sus soluciones.
Un técnico elimina la variable $x$ del sistema $\varepsilon x+y=1$, $x+y=2$ usando como pivote $\varepsilon$, con $0<|\varepsilon|<1$. Resuelve exactamente y compara los…
Un técnico elimina la variable $x$ del sistema $\varepsilon x+y=1$, $x+y=2$ usando como pivote $\varepsilon$, con $0<|\varepsilon|<1$. Resuelve exactamente y compara los multiplicadores con el intercambio previo de filas.
Vuelve al principio: tres números de ecuaciones y de incógnitas no deciden nada; lo decide el rango. Escalonando cuentas pivotes: un pivote en la columna de $b$ da incompatibilidad, y si no, el número de columnas sin pivote es la dimensión de $\ker A$, que se suma a una solución particular.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado