Espacios de polinomios, matrices y funciones
Un sensor mide una señal en tres instantes y con esos tres números reconstruyes toda la curva. Una matriz $2\times 3$ se guarda como seis números. Un polinomio de grado a lo sumo $2$ se guarda como tres coeficientes. ¿Por qué funciona esto? Porque todos ellos son vectores de espacios de dimensión finita: elegir una base convierte cada objeto en una columna de coordenadas. Al final del apartado sabrás cuándo unos pocos valores bastan para determinar una función y cuándo no.
Matrices y polinomios como espacios de coordenadas
Determina la dimensión del espacio de matrices reales $2\times3$ y escribe una base usando matrices con una única entrada no nula.
Determina la dimensión del espacio de matrices reales $2\times3$ y escribe una base usando matrices con una única entrada no nula.
¿Tiene sentido asignar grado cero al polinomio nulo para contar la dimensión de $\mathcal P_2(\mathbb R)$? Explica qué significa realmente grado a lo sumo dos en la…
¿Tiene sentido asignar grado cero al polinomio nulo para contar la dimensión de $\mathcal P_2(\mathbb R)$? Explica qué significa realmente grado a lo sumo dos en la definición del espacio y da su dimensión.
Subespacios definidos por condiciones
Una condición lineal sobre los vectores (anular un valor, una derivada, una integral, una traza) recorta el espacio. Cada condición independiente suele restar una dimensión.
En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera $U=\{p:p'(0)=0\}$. Da una base y la dimensión de $U$.
En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera $U=\{p:p'(0)=0\}$. Da una base y la dimensión de $U$.
Encuentra una base de los polinomios $p\in\mathcal P_3(\mathbb R)$ que cumplen $p(0)=p'(0)=0$ y explica su interpretación como condiciones iniciales homogéneas.
Encuentra una base de los polinomios $p\in\mathcal P_3(\mathbb R)$ que cumplen $p(0)=p'(0)=0$ y explica su interpretación como condiciones iniciales homogéneas.
Encuentra una base de $U=\{p\in\mathcal P_2(\mathbb R):\int_{-1}^{1}p(x)\,dx=0\}$.
Encuentra una base de $U=\{p\in\mathcal P_2(\mathbb R):\int_{-1}^{1}p(x)\,dx=0\}$.
Matrices con estructura: hermíticas y traza nula
Describe una base real del espacio de matrices hermíticas $2\times2$, definido por $A=\overline A^T$. ¿Es también subespacio complejo de $M_2(\mathbb C)$?
Describe una base real del espacio de matrices hermíticas $2\times2$, definido por $A=\overline A^T$. ¿Es también subespacio complejo de $M_2(\mathbb C)$?
En $M_n(\mathbb R)$ con $n\ge2$, demuestra $M_n(\mathbb R)=\operatorname{span}\{I\}\oplus\{A:\operatorname{tr}A=0\}$ y deduce una fórmula para la componente escalar de…
En $M_n(\mathbb R)$ con $n\ge2$, demuestra $M_n(\mathbb R)=\operatorname{span}\{I\}\oplus\{A:\operatorname{tr}A=0\}$ y deduce una fórmula para la componente escalar de cualquier matriz.
Funciones: evaluaciones como coordenadas
Sea $V$ un espacio de funciones de dimensión $d$. Medir $f$ en $d$ puntos da $d$ números. Esos valores son coordenadas respecto de alguna base si y solo si la aplicación $f\mapsto(f(t_1),\dots,f(t_d))$ es biyectiva, es decir, inyectiva.
Sea $V=\operatorname{span}\{\cos t,\sen t\}$ como espacio de funciones reales. Comprueba que estos generadores forman base e identifica las coordenadas de…
Sea $V=\operatorname{span}\{\cos t,\sen t\}$ como espacio de funciones reales. Comprueba que estos generadores forman base e identifica las coordenadas de $3\cos t-2\sen t$.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, construye una base $L_0,L_1,L_2$ tal que $L_j(k)$ sea uno si $j=k$ y cero en caso contrario, para $j,k\in\{0,1,2\}$.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, construye una base $L_0,L_1,L_2$ tal que $L_j(k)$ sea uno si $j=k$ y cero en caso contrario, para $j,k\in\{0,1,2\}$.
Dos sensores registran señales en $V=\operatorname{span}\{1,\cos t,\sen t\}$. ¿Bastan los valores en $t=0$ y $t=\pi$ para recuperar cualquier señal de $V$? Describe…
Dos sensores registran señales en $V=\operatorname{span}\{1,\cos t,\sen t\}$. ¿Bastan los valores en $t=0$ y $t=\pi$ para recuperar cualquier señal de $V$? Describe todas las señales invisibles para esos dos registros.
Los puntos resaltados son los únicos instantes de medida disponibles.
Funciones afines a trozos y dimensión infinita
Sea $V$ el espacio de funciones continuas en $[0,2]$ que son afines en $[0,1]$ y en $[1,2]$. Demuestra que los valores en $0,1,2$ son coordenadas respecto de una base e…
Sea $V$ el espacio de funciones continuas en $[0,2]$ que son afines en $[0,1]$ y en $[1,2]$. Demuestra que los valores en $0,1,2$ son coordenadas respecto de una base e indica dicha base.
Este perfil ilustra cómo los valores nodales describen una función del espacio.
Demuestra que el espacio de polinomios reales sin cota de grado no tiene dimensión finita. Explica por qué no contradice la dimensión finita de cada…
Demuestra que el espacio de polinomios reales sin cota de grado no tiene dimensión finita. Explica por qué no contradice la dimensión finita de cada $\mathcal P_n(\mathbb R)$.
Sea $V$ el espacio de funciones continuas y afines a trozos en los intervalos $[x_{j-1},x_j]$, con $n\ge1$ y $x_0<\cdots<x_n$. Demuestra que $\dim V=n+1$ y calcula la…
Sea $V$ el espacio de funciones continuas y afines a trozos en los intervalos $[x_{j-1},x_j]$, con $n\ge1$ y $x_0<\cdots
Vuelve al principio: tres medidas bastan para reconstruir la curva cuando el espacio tiene dimensión $3$ y los instantes hacen inyectiva la evaluación; si no, quedan señales invisibles.