Dos depósitos se pasan agua cada minuto, una app reparte usuarios entre dos servidores, una sucesión se define a partir de sus dos términos anteriores. En todos los casos el estado de mañana es una matriz por el estado de hoy, y la pregunta es la misma: ¿qué pasa después de mil pasos sin multiplicar mil veces? La respuesta está en los autovalores.
Potencias mediante diagonalización
Un modelo discreto lineal es una ecuación $x_{n+1}=Ax_n$, con $x_0$ dado. Iterando, $x_n=A^nx_0$. Calcular $A^n$ directamente es costoso, pero si $A$ es diagonalizable el cálculo es inmediato.
Si $v_1,\dots,v_k$ son autovectores que forman base y $x_0=c_1v_1+\dots+c_kv_k$, entonces
Con $x_n=\sum c_i\lambda_i^nv_i$, lo que ocurre cuando $n\to\infty$ depende del módulo de cada $\lambda_i$ (también si es complejo, pues $|\lambda^n|=|\lambda|^n$).
En general, el autovalor de mayor módulo domina: si $|\lambda_1|>|\lambda_i|$ para $i>1$ y $c_1\neq0$, entonces $x_n\approx c_1\lambda_1^nv_1$. Un autovalor negativo hace que esa componente cambie de signo en cada paso; uno complejo la hace girar.
Practica★☆☆Sin empezar
Un sistema cumple $x_{n+1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/3\end{pmatrix}x_n$. Explica si converge a cero para cualquier estado inicial y qué significa el signo negativo del…
Un sistema cumple $x_{n+1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/3\end{pmatrix}x_n$. Explica si converge a cero para cualquier estado inicial y qué significa el signo negativo del segundo autovalor.
Cuando una cantidad se reparte entre dos compartimentos sin perderse, cada columna de la matriz suma $1$ (matriz estocástica por columnas). Esto implica que $1$ es autovalor: la fila $(1,1)$ cumple $(1,1)A=(1,1)$, así que $A$ y $A^T$ comparten autovalor $1$.
Practica★☆☆Sin empezar
Dos depósitos intercambian cada minuto una cuarta parte de su contenido. Si el total se conserva y $x_n=(u_n,v_n)$, escribe la matriz del modelo y comprueba que $(1,1)$…
Dos depósitos intercambian cada minuto una cuarta parte de su contenido. Si el total se conserva y $x_n=(u_n,v_n)$, escribe la matriz del modelo y comprueba que $(1,1)$ es una dirección de equilibrio.
El esquema identifica los intercambios que debes traducir a una matriz.
Los depósitos del modelo $x_{n+1}=\begin{pmatrix}3/4&1/4\\1/4&3/4\end{pmatrix}x_n$ parten de $x_0=(8,0)$ litros. Usa una base de autovectores para calcular $x_n$ y el…
Los depósitos del modelo $x_{n+1}=\begin{pmatrix}3/4&1/4\\1/4&3/4\end{pmatrix}x_n$ parten de $x_0=(8,0)$ litros. Usa una base de autovectores para calcular $x_n$ y el reparto límite.
Dos zonas tienen proporciones de población $x_n$ y transición $x_{n+1}=\begin{pmatrix}9/10&1/5\\1/10&4/5\end{pmatrix}x_n$, con $x_{n,1}+x_{n,2}=1$. Calcula el reparto…
Dos zonas tienen proporciones de población $x_n$ y transición $x_{n+1}=\begin{pmatrix}9/10&1/5\\1/10&4/5\end{pmatrix}x_n$, con $x_{n,1}+x_{n,2}=1$. Calcula el reparto estacionario y el segundo autovalor.
El diagrama de transición ayuda a interpretar las columnas de la matriz.
Una recurrencia de segundo orden se convierte en un sistema de primer orden ampliando el estado con el término anterior.
Practica★★☆Sin empezar
Una recurrencia cumple $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$, $u_0=0$, $u_1=1$. Escríbela como sistema matricial de primer orden y resuélvela mediante sus autovalores.
Una recurrencia cumple $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$, $u_0=0$, $u_1=1$. Escríbela como sistema matricial de primer orden y resuélvela mediante sus autovalores.
Sea $P$ una proyección, $P^2=P$, y $A=2P-I$. Calcula $A^n$ para todo entero $n\ge0$ y explica la evolución de un vector descompuesto en $\operatorname{Im}P\oplus\ker P$.
Sea $P$ una proyección, $P^2=P$, y $A=2P-I$. Calcula $A^n$ para todo entero $n\ge0$ y explica la evolución de un vector descompuesto en $\operatorname{Im}P\oplus\ker P$.
Un autovalor de módulo $1$ no decide por sí solo: depende de si la matriz es diagonalizable. El caso límite lo muestra.
Practica★★★Sin empezar
Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&1/2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R\setminus\{1/2\}$, determina cuándo todos los estados del sistema $x_{n+1}=A_ax_n$ convergen a cero. Si…
Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&1/2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R\setminus\{1/2\}$, determina cuándo todos los estados del sistema $x_{n+1}=A_ax_n$ convergen a cero. Si no ocurre, caracteriza los estados que sí lo hacen.
Una cadena de dos estados tiene matriz $A=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}$, con $0<p,q<1$, actuando sobre vectores columna de probabilidades. Obtén $A^n$ como…
Una cadena de dos estados tiene matriz $A=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}$, con $0
En el modelo $x_{n+1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}x_n$, ambos autovalores tienen módulo $1$. Calcula $A^n$ sin diagonalizar y determina qué órbitas son acotadas;…
En el modelo $x_{n+1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}x_n$, ambos autovalores tienen módulo $1$. Calcula $A^n$ sin diagonalizar y determina qué órbitas son acotadas; explica por qué conocer solo los autovalores no basta para decidirlo.
Vuelve al principio: tras mil pasos el reparto de los depósitos o de los servidores ya está en el autovector de autovalor $1$, porque los demás autovalores, de módulo menor que $1$, se han apagado.
¡A practicar! 6 ejercicios de nivel medio en este apartado