Producto escalar, normas y ángulos
Un sistema de recomendación compara dos canciones por sus características y dice que son «muy parecidas»; un ingeniero mide cuánta señal de una antena se mezcla con otra. En ambos casos se necesita dar sentido a «longitud», «ángulo» y «perpendicular» fuera del plano dibujado. ¿Qué propiedades mínimas necesita una operación entre vectores para que todo eso funcione, y por qué el coseno de un ángulo nunca se sale de $[-1,1]$?
Producto escalar usual, norma y ángulo
En $\mathbb R^2$ con el producto escalar usual, calcula el producto, las normas y el ángulo entre $u=(3,1)$ y $v=(1,2)$. Los vectores y el ángulo buscado se sitúan en el…
En $\mathbb R^2$ con el producto escalar usual, calcula el producto, las normas y el ángulo entre $u=(3,1)$ y $v=(1,2)$.
Los vectores y el ángulo buscado se sitúan en el siguiente plano.
Normaliza el vector $v=(2,-1,2)$ de $\mathbb R^3$ y comprueba que el vector obtenido tiene norma euclídea $1$.
Normaliza el vector $v=(2,-1,2)$ de $\mathbb R^3$ y comprueba que el vector obtenido tiene norma euclídea $1$.
Determina $k\in\mathbb R$ para que $(2,k)$ y $(3,-2)$ sean ortogonales en el producto escalar usual.
Determina $k\in\mathbb R$ para que $(2,k)$ y $(3,-2)$ sean ortogonales en el producto escalar usual.
Producto escalar general: axiomas
Este «lenguaje de axiomas» permite medir en espacios de polinomios, de funciones o con pesos distintos en cada coordenada. Una norma, un ángulo y una distancia solo dependen de estas tres propiedades.
Demuestra que $\langle x,y\rangle=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}y$ define un producto escalar real y calcula el ángulo entre los vectores canónicos.
Demuestra que $\langle x,y\rangle=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}y$ define un producto escalar real y calcula el ángulo entre los vectores canónicos.
En $\mathbb R_1[x]$ usa $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1p(x)q(x)\,dx$. Calcula producto, normas y ángulo de $p=1+x$ y $q=1-x$. Puedes usar $\int_{-1}^1x\,dx=0$ y…
En $\mathbb R_1[x]$ usa $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1p(x)q(x)\,dx$. Calcula producto, normas y ángulo de $p=1+x$ y $q=1-x$. Puedes usar $\int_{-1}^1x\,dx=0$ y $\int_{-1}^1x^2\,dx=2/3$.
Determina todos los $a\in\mathbb R$ para que $\langle x,y\rangle_a=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}y$ sea producto escalar en $\mathbb R^2$. Explica qué…
Determina todos los $a\in\mathbb R$ para que $\langle x,y\rangle_a=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}y$ sea producto escalar en $\mathbb R^2$. Explica qué falla en los valores frontera.
Normas y distancias inducidas
Cada producto escalar fabrica su propia geometría: $\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}$ y $d(P,Q)=\|P-Q\|$. Al cambiar el producto cambian longitudes, ángulos y perpendicularidad, aunque los vectores sean los mismos.
En $\mathbb R^2$ define $\langle u,v\rangle_G=2u_1v_1+u_2v_2$. Calcula el ángulo inducido por este producto entre $u=(1,0)$ y $v=(1,1)$, y compáralo con el ángulo…
En $\mathbb R^2$ define $\langle u,v\rangle_G=2u_1v_1+u_2v_2$. Calcula el ángulo inducido por este producto entre $u=(1,0)$ y $v=(1,1)$, y compáralo con el ángulo euclídeo.
La curva representa los vectores de norma unidad para este producto escalar, que no es el habitual.
Con el producto escalar $\langle u,v\rangle=u_1v_1+4u_2v_2$, calcula la distancia entre $P=(1,2)$ y $Q=(3,-1)$. Explica por qué no coincide con su distancia euclídea.
Con el producto escalar $\langle u,v\rangle=u_1v_1+4u_2v_2$, calcula la distancia entre $P=(1,2)$ y $Q=(3,-1)$. Explica por qué no coincide con su distancia euclídea.
Demuestra la identidad del paralelogramo $\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2$ en un espacio real con producto escalar.
Demuestra la identidad del paralelogramo $\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2$ en un espacio real con producto escalar.
Desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular
Para definir un ángulo hace falta que el cociente $\langle u,v\rangle/(\|u\|\|v\|)$ esté en $[-1,1]$. Eso es exactamente Cauchy-Schwarz.
Comprueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz para $u=(1,2)$ y $v=(2,4)$. Explica por qué se alcanza la igualdad.
Comprueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz para $u=(1,2)$ y $v=(2,4)$. Explica por qué se alcanza la igualdad.
Demuestra Cauchy-Schwarz en un espacio real a partir de $\|u-tv\|^2\ge0$ y caracteriza todos los casos de igualdad, incluidos los vectores nulos.
Demuestra Cauchy-Schwarz en un espacio real a partir de $\|u-tv\|^2\ge0$ y caracteriza todos los casos de igualdad, incluidos los vectores nulos.
Prueba la desigualdad triangular para una norma inducida por producto escalar real y caracteriza la igualdad cuando $u,v$ son ambos no nulos.
Prueba la desigualdad triangular para una norma inducida por producto escalar real y caracteriza la igualdad cuando $u,v$ son ambos no nulos.
Espacios complejos y ortogonalidad
En $\mathbb C^n$, definir $\langle u,v\rangle=\sum u_jv_j$ fallaría: $\langle(1,i),(1,i)\rangle=1+i^2=0$. La solución es conjugar un argumento.
En $\mathbb C^2$ usa $\langle u,v\rangle=\overline{u_1}v_1+\overline{u_2}v_2$. Calcula las normas de $u=(1,i)$, $v=(i,1)$ y decide si son ortogonales.
En $\mathbb C^2$ usa $\langle u,v\rangle=\overline{u_1}v_1+\overline{u_2}v_2$. Calcula las normas de $u=(1,i)$, $v=(i,1)$ y decide si son ortogonales.
Halla una base de $W^\perp$ en $\mathbb R^3$ para $W=\langle(1,1,1),(1,-1,0)\rangle$, con producto usual.
Halla una base de $W^\perp$ en $\mathbb R^3$ para $W=\langle(1,1,1),(1,-1,0)\rangle$, con producto usual.
En $\mathbb C^2$ define $\langle u,v\rangle=\overline{u_1}v_1+2\overline{u_2}v_2$. Para $u=(1,i)$, $v=(i,1)$, calcula $\langle u,v\rangle$, $\langle v,u\rangle$ y ambas…
En $\mathbb C^2$ define $\langle u,v\rangle=\overline{u_1}v_1+2\overline{u_2}v_2$. Para $u=(1,i)$, $v=(i,1)$, calcula $\langle u,v\rangle$, $\langle v,u\rangle$ y ambas normas. Verifica la simetría conjugada.
Vuelve al principio: la «similitud» entre canciones o señales es $\cos\theta=\langle u,v\rangle/(\|u\|\|v\|)$, y siempre está en $[-1,1]$ gracias a Cauchy-Schwarz.