Ortogonalidad y geometría · Producto escalar y aproximación
Gram-Schmidt y factorización QR
Te dan tres vectores independientes de $\mathbb R^3$ que forman una base, pero con ángulos feos entre ellos, y te piden coordenadas, proyecciones o un sistema resuelto con ellos. Con una base ortonormal todo sería un producto escalar. ¿Se puede fabricar una base ortonormal a partir de la que tienes, sin perder el subespacio que generan? Sí: se hace restando, vector a vector, lo que ya está explicado por los anteriores. Y si anotas lo que has restado, obtienes la factorización $A=QR$.
Ortogonalizar un vector respecto a otro
Partimos de dos vectores independientes $v_1,v_2$. Queremos un par ortogonal que genere lo mismo. Nos quedamos con la dirección de $v_1$ y, de $v_2$, conservamos solo lo que no apunta hacia $v_1$.
¿Por qué? Buscamos $\lambda$ con $\langle u,v-\lambda u\rangle=0$. Desarrollando, $\langle u,v\rangle=\lambda\langle u,u\rangle$, y de ahí sale $\lambda$. Si $u$ ya es unitario, el denominador vale 1.
Practica★☆☆Sin empezar
Aplica Gram-Schmidt, en ese orden, a $v_1=(1,0)$ y $v_2=(1,1)$ con el producto usual. Obtén una base ortonormal y explica qué componente se resta al segundo vector. La…
Aplica Gram-Schmidt, en ese orden, a $v_1=(1,0)$ y $v_2=(1,1)$ con el producto usual. Obtén una base ortonormal y explica qué componente se resta al segundo vector.
La figura destaca la componente de segundo vector que debe separarse de la dirección del primero.
¿Por qué? Cada $u_k$ es $v_k$ menos su proyección sobre el subespacio ya construido, así que es ortogonal a todos los $q_j$ anteriores. Además $u_k\ne0$ porque, si fuera nulo, $v_k$ estaría en $\operatorname{gen}(v_1,\dots,v_{k-1})$, contra la independencia. El orden importa: otro orden da otra base ortonormal.
Practica★☆☆Sin empezar
Intenta aplicar Gram-Schmidt a $v_1=(1,2)$ y $v_2=(2,4)$. Identifica el paso en que aparece un vector nulo y explica su significado.
Intenta aplicar Gram-Schmidt a $v_1=(1,2)$ y $v_2=(2,4)$. Identifica el paso en que aparece un vector nulo y explica su significado.
Aplica Gram-Schmidt a $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$, en ese orden, y obtén una base ortonormal de $\mathbb R^3$. Los tres vectores iniciales se muestran antes de aplicar la…
Aplica Gram-Schmidt a $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$, en ese orden, y obtén una base ortonormal de $\mathbb R^3$.
Los tres vectores iniciales se muestran antes de aplicar la ortogonalización.
Demuestra que Gram-Schmidt preserva, en cada etapa $k$, el subespacio generado por los primeros $k$ vectores, suponiendo que la familia inicial es independiente.
Demuestra que Gram-Schmidt preserva, en cada etapa $k$, el subespacio generado por los primeros $k$ vectores, suponiendo que la familia inicial es independiente.
Otros productos escalares: ponderados, complejos y de funciones
Gram-Schmidt solo usa las propiedades del producto escalar, así que funciona igual con cualquier otro. Cambia el producto y cambia qué significa «ortogonal»: una base ortonormal para un producto no lo es para otro.
Practica★★☆Sin empezar
En $\mathbb R^2$ usa $\langle x,y\rangle_G=2x_1y_1+x_2y_2$. Aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,0)$, obteniendo una base ortonormal para este producto.
En $\mathbb R^2$ usa $\langle x,y\rangle_G=2x_1y_1+x_2y_2$. Aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,0)$, obteniendo una base ortonormal para este producto.
En $\mathbb C^2$ con $\langle u,v\rangle=\overline u^{\mathsf T}v$, aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,i)$, $v_2=(1,0)$, usando $q_1\langle q_1,v_2\rangle$ para la proyección.
En $\mathbb C^2$ con $\langle u,v\rangle=\overline u^{\mathsf T}v$, aplica Gram-Schmidt a $v_1=(1,i)$, $v_2=(1,0)$, usando $q_1\langle q_1,v_2\rangle$ para la proyección.
Si en Gram-Schmidt despejas $v_k$, obtienes $v_k=\sum_{j
¿Por qué? La columna $k$ de $A$ usa solo $q_1,\dots,q_k$, de ahí que $R$ sea triangular superior. La diagonal es $\|u_k\|>0$ por construcción. Cuando $A$ es cuadrada, $Q$ es ortogonal ($Q^{\mathsf T}Q=QQ^{\mathsf T}=I$).
Practica★☆☆Sin empezar
Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$. Da una factorización $A=QR$ con $Q$ ortogonal y $R$ triangular superior de diagonal positiva.
Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$. Da una factorización $A=QR$ con $Q$ ortogonal y $R$ triangular superior de diagonal positiva.
Sea $A=QR$ una QR reducida real con columnas independientes y $Q^{\mathsf T}Q=I$. Demuestra $A^{\mathsf T}A=R^{\mathsf T}R$ y deduce una relación entre sus determinantes…
Sea $A=QR$ una QR reducida real con columnas independientes y $Q^{\mathsf T}Q=I$. Demuestra $A^{\mathsf T}A=R^{\mathsf T}R$ y deduce una relación entre sus determinantes cuando $A$ es cuadrada.
Usos y límites: sistemas, mínimos cuadrados y precisión
¿Por qué? Descomponemos $b=QQ^{\mathsf T}b+(I-QQ^{\mathsf T})b$: el primer sumando está en el espacio de columnas, el segundo es ortogonal a él. $Ax-QQ^{\mathsf T}b=Q(Rx-Q^{\mathsf T}b)$ y $Q$ conserva normas; por Pitágoras, los dos términos se suman. El segundo no depende de $x$, de modo que el mínimo se alcanza anulando el primero.
Practica★☆☆Sin empezar
Comprueba que $Q=\frac15\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}$ es ortogonal. Si $R=\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}$, calcula $A=QR$.
Comprueba que $Q=\frac15\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}$ es ortogonal. Si $R=\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}$, calcula $A=QR$.
Sea $A=QR$ reducida real, con $Q^{\mathsf T}Q=I$ y $R$ invertible. Demuestra que $\|Ax-b\|^2=\|Rx-Q^{\mathsf T}b\|^2+\|(I-QQ^{\mathsf T})b\|^2$ y explica cómo obtener el…
Sea $A=QR$ reducida real, con $Q^{\mathsf T}Q=I$ y $R$ invertible. Demuestra que $\|Ax-b\|^2=\|Rx-Q^{\mathsf T}b\|^2+\|(I-QQ^{\mathsf T})b\|^2$ y explica cómo obtener el minimizador sin formar $A^{\mathsf T}A$.
Con $q_1,\dots,q_k$ ortonormales en $\mathbb R^n$ puedes completar hasta una base ortonormal añadiendo vectores ortogonales a todos ellos. En $\mathbb R^3$ con dos vectores, el tercero es $\pm q_1\times q_2$, y el signo decide la orientación.
Idea de la prueba. De $Q_1R_1=Q_2R_2$ sale $Q_2^{\mathsf T}Q_1=R_2R_1^{-1}$. Esa matriz es triangular superior y, al ser $Q_2^{\mathsf T}Q_1$ ortogonal, su inversa es su traspuesta, que es triangular inferior. Luego es diagonal, con entradas $\pm1$; la diagonal positiva obliga a que sea $I$.
Practica★★☆Sin empezar
Completa $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$ y $q_2=(1,-1,0)/\sqrt2$ hasta una base ortonormal de $\mathbb R^3$. Indica cuál de las dos elecciones del tercer vector hace positiva la…
Completa $q_1=(1,1,0)/\sqrt2$ y $q_2=(1,-1,0)/\sqrt2$ hasta una base ortonormal de $\mathbb R^3$. Indica cuál de las dos elecciones del tercer vector hace positiva la orientación.
Sea $A_a=\begin{pmatrix}1&1\\0&a\\0&1\end{pmatrix}$ con $a\in\mathbb R$. Obtén su QR reducida de diagonal positiva para todo $a$ y decide si algún parámetro produce…
Sea $A_a=\begin{pmatrix}1&1\\0&a\\0&1\end{pmatrix}$ con $a\in\mathbb R$. Obtén su QR reducida de diagonal positiva para todo $a$ y decide si algún parámetro produce fallo por dependencia.