Autovalores, autoespacios y polinomio característico
Aplica una transformación lineal a todos los vectores del plano: casi todos cambian de dirección. Pero algunos, muy pocos, solo se estiran, se encogen o se invierten sobre su propia recta. Esas direcciones privilegiadas describen el comportamiento esencial de la transformación: los modos de vibración de una estructura, los ejes de un giro de un sólido o la evolución a largo plazo de un modelo. ¿Cómo se encuentran, cuántas puede haber y qué falla cuando no hay suficientes?
Autovalores y autovectores
La condición $v\ne 0$ es esencial: $A0=\lambda 0$ se cumple para todo $\lambda$ y no aporta información. Un autovalor puede ser $0$; un autovector nunca es el vector nulo.
¿Por qué importa? Si $Av=\lambda v$, la acción de $A$ sobre la recta generada por $v$ se reduce a multiplicar por un número. Un problema de dimensión $n$ se convierte en problemas de dimensión $1$.
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Para $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}$, calcula sus autovalores y autoespacios en $\mathbb R^2$. Explica el efecto de $A$ sobre un vector de cada eje. El esquema…
Para $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}$, calcula sus autovalores y autoespacios en $\mathbb R^2$. Explica el efecto de $A$ sobre un vector de cada eje.
El esquema compara dos vectores de referencia con sus imágenes por la transformación.
Buscamos $\lambda$ tal que $(\lambda I-A)v=0$ tenga solución no nula, es decir, tal que $\lambda I-A$ no sea invertible.
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Calcula el polinomio característico, los autovalores y sus multiplicidades algebraicas para $A=\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$. Usa…
Calcula el polinomio característico, los autovalores y sus multiplicidades algebraicas para $A=\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$. Usa la convención $\chi_A(t)=\det(tI-A)$.
Sea $A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}$, con $a\in\mathbb R$. Calcula el autoespacio y su dimensión para todo $a$; explica por qué el polinomio…
Sea $A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}$, con $a\in\mathbb R$. Calcula el autoespacio y su dimensión para todo $a$; explica por qué el polinomio característico no basta para conocer esa dimensión.
Un polinomio real puede no tener raíces reales. Por eso conviene trabajar sobre $\mathbb C$, donde $\chi_A$ (grado $n\ge1$) siempre factoriza en $n$ raíces contadas con multiplicidad.
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Para $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, decide si hay autovectores reales y calcula los autovalores complejos. Interpreta geométricamente el resultado real. El…
Para $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, decide si hay autovectores reales y calcula los autovalores complejos. Interpreta geométricamente el resultado real.
El giro transforma un vector de referencia como se muestra en la figura.
Una matriz real $3\times3$ tiene polinomio característico $(t-2)(t^2+4)$. Indica sus autovalores sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$, su traza y determinante.
Una matriz real $3\times3$ tiene polinomio característico $(t-2)(t^2+4)$. Indica sus autovalores sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$, su traza y determinante.
Sea $A$ real y sea $v\in\mathbb C^n$ un autovector de autovalor no real $\lambda$. Demuestra que $\overline v$ es autovector de $\overline\lambda$ y deduce que una…
Sea $A$ real y sea $v\in\mathbb C^n$ un autovector de autovalor no real $\lambda$. Demuestra que $\overline v$ es autovector de $\overline\lambda$ y deduce que una matriz real de orden impar tiene algún autovalor real.
Una matriz invertible $A$ tiene $Av=3v$ con $v\ne0$. Calcula $A^{-1}v$ y $(A^2-2A+I)v$. Justifica por qué no hace falta conocer todas las entradas de $A$.
Una matriz invertible $A$ tiene $Av=3v$ con $v\ne0$. Calcula $A^{-1}v$ y $(A^2-2A+I)v$. Justifica por qué no hace falta conocer todas las entradas de $A$.
Demuestra que los autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes. Desarrolla una prueba para cualquier número finito de autovalores.
Demuestra que los autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes. Desarrolla una prueba para cualquier número finito de autovalores.
Cuando la matriz depende de un parámetro, las multiplicidades pueden cambiar con él: hay que estudiar por separado los valores en que los autovalores coinciden o el rango cae.
La gráfica es $\chi_{A_a}(t)=t^2-(a+2)t+2a$ de $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix}$: sus cortes con el eje son $a$ y $2$, y coinciden cuando $a=2$.
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Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R$, calcula todos sus autoespacios distinguiendo los valores necesarios del parámetro.
Para $A_a=\begin{pmatrix}a&1\\0&2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R$, calcula todos sus autoespacios distinguiendo los valores necesarios del parámetro.
Para $A_a=\begin{pmatrix}0&-a\\1&2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R$, clasifica los autovalores como reales distintos, real doble o no reales. En el caso doble, calcula la…
Para $A_a=\begin{pmatrix}0&-a\\1&2\end{pmatrix}$, $a\in\mathbb R$, clasifica los autovalores como reales distintos, real doble o no reales. En el caso doble, calcula la dimensión del autoespacio.
Supón que $A$ es real $3\times3$, $\operatorname{tr}A=6$, $\operatorname{tr}(A^2)=14$ y $\det A=6$. Reconstruye su polinomio característico y sus autovalores.
Supón que $A$ es real $3\times3$, $\operatorname{tr}A=6$, $\operatorname{tr}(A^2)=14$ y $\det A=6$. Reconstruye su polinomio característico y sus autovalores.
Vuelve al principio: las direcciones privilegiadas de una transformación son las rectas de autovectores; se hallan como raíces de $\chi_A$ y núcleos de $\lambda I-A$, y pueden faltar en $\mathbb R$ o ser demasiado pocas aunque $\chi_A$ tenga raíces repetidas.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado