Operaciones y matrices por bloques
Una fábrica fabrica dos productos y cada uno consume cantidades distintas de dos materiales. Si quieres saber cuánto material necesitas para un pedido concreto, ¿cómo se organiza esa cuenta de forma compacta? ¿Y por qué el orden en que multiplicas dos tablas de números importa tanto, cuando con números sueltos nunca importa?
Matrices, suma y producto por escalares
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-1\end{pmatrix}$, calcula $2A-B$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-1\end{pmatrix}$, calcula $2A-B$.
Resuelve $2X+A=B$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&4\\0&5\end{pmatrix}$.
Resuelve $2X+A=B$ para $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&4\\0&5\end{pmatrix}$.
Producto matricial
Una forma útil de verlo: la columna $j$ de $AB$ es $A$ por la columna $j$ de $B$, es decir, una combinación lineal de las columnas de $A$ con coeficientes dados por esa columna de $B$.
Una matriz $A$ tiene tamaño $2\times3$ y $B$ tamaño $3\times4$. Indica cuáles de $AB,BA,A+B$ están definidas y el tamaño del resultado.
Una matriz $A$ tiene tamaño $2\times3$ y $B$ tamaño $3\times4$. Indica cuáles de $AB,BA,A+B$ están definidas y el tamaño del resultado.
Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$.
Calcula $AB$ y $BA$ para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$.
Una fábrica usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$: cada columna indica kilogramos de dos materiales necesarios para una unidad de cada producto. Calcula los…
Una fábrica usa $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$: cada columna indica kilogramos de dos materiales necesarios para una unidad de cada producto. Calcula los materiales para fabricar $x=(4,2)^T$ unidades.
El esquema relaciona los productos con sus consumos por unidad.
Potencias, diagonales y productos de vectores
Las potencias también cuentan caminos. Si $a_{ij}=1$ indica un arco $i\to j$, la entrada $(i,j)$ de $A^k$ es el número de caminos de longitud $k$ de $i$ a $j$.
Sea $D=\operatorname{diag}(2,-1,3)$. Calcula $D^3$ y $D(1,2,-1)^T$.
Sea $D=\operatorname{diag}(2,-1,3)$. Calcula $D^3$ y $D(1,2,-1)^T$.
Sean $u=(1,2)^T$ y $v=(3,-1)^T$. Calcula $uv^T,v^Tu$ y $(uv^T)^2$.
Sean $u=(1,2)^T$ y $v=(3,-1)^T$. Calcula $uv^T,v^Tu$ y $(uv^T)^2$.
Una red dirigida tiene vértices $1,2,3$ y matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$, donde $a_{ij}=1$ indica arco de $i$ a $j$. Calcula $A^2$ e…
Una red dirigida tiene vértices $1,2,3$ y matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$, donde $a_{ij}=1$ indica arco de $i$ a $j$. Calcula $A^2$ e interpreta su entrada $(1,1)$.
El grafo representa los arcos de la matriz de adyacencia.
Sea $N\in\mathbb R^{n\times n}$ con $N^2=0$. Demuestra por inducción que $(I+N)^k=I+kN$ para todo entero $k\ge0$.
Sea $N\in\mathbb R^{n\times n}$ con $N^2=0$. Demuestra por inducción que $(I+N)^k=I+kN$ para todo entero $k\ge0$.
Traspuesta, simetría y traza
Para $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&4\end{pmatrix}$, calcula $A^T$ y $AA^T$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&4\end{pmatrix}$, calcula $A^T$ y $AA^T$.
Sean $A\in\mathbb R^{2\times3}$ y $B\in\mathbb R^{3\times2}$. Demuestra por entradas que $(AB)^T=B^TA^T$.
Sean $A\in\mathbb R^{2\times3}$ y $B\in\mathbb R^{3\times2}$. Demuestra por entradas que $(AB)^T=B^TA^T$.
Descompón $A=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\end{pmatrix}$ como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
Descompón $A=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\end{pmatrix}$ como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
Matrices por bloques
Una matriz grande se puede trocear con líneas horizontales y verticales en submatrices («bloques»). Si los troceados son compatibles, los bloques se multiplican como si fueran números, respetando el orden.
Sean $I$ la identidad $2\times2$, $0$ el bloque nulo y $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$. Calcula el cuadrado de $M=\begin{pmatrix}I&B\\0&I\end{pmatrix}$ mediante…
Sean $I$ la identidad $2\times2$, $0$ el bloque nulo y $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$. Calcula el cuadrado de $M=\begin{pmatrix}I&B\\0&I\end{pmatrix}$ mediante bloques.
Una población evoluciona por $x_{k+1}=Px_k$ con $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$ y $x_0=(100,0)^T$. Calcula $x_2$ y comprueba que se conserva la…
Una población evoluciona por $x_{k+1}=Px_k$ con $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$ y $x_0=(100,0)^T$. Calcula $x_2$ y comprueba que se conserva la suma de componentes.
Sean $A,D$ matrices cuadradas de tamaños $p,q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Para $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$, demuestra que el bloque superior derecho de…
Sean $A,D$ matrices cuadradas de tamaños $p,q$ y $B$ de tamaño $p\times q$. Para $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$, demuestra que el bloque superior derecho de $M^k$ es $\sum_{j=0}^{k-1}A^{k-1-j}BD^j$ para $k\ge1$.
Vuelve al principio: el consumo de materiales de un pedido es el producto $Ax$, una combinación lineal de las columnas de $A$. Y el orden importa porque el producto compone transformaciones, y $AB$ y $BA$ describen composiciones distintas.