Una ingeniera calibra un sensor y obtiene dos ecuaciones lineales cuyos coeficientes dependen de un ajuste $a$ que ella controla. Para casi todos los valores de $a$ el sistema da una única respuesta, pero para algún valor concreto puede quedarse sin solución o tener infinitas. ¿Cómo se encuentran esos valores críticos sin resolver el sistema infinitas veces? Esa es la discusión de un sistema con parámetros.
Qué significa discutir un sistema
Discutir un sistema es clasificarlo según los valores de los parámetros: para cada valor (o rango de valores) hay que decir si es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado, y resolverlo cuando se pida. La base es el teorema de Rouché–Frobenius.
El plan de trabajo es siempre el mismo: encontrar los valores del parámetro donde el rango puede cambiar, y estudiar cada uno de ellos por separado, más el caso «genérico» que queda.
Practica★☆☆Sin empezar
Discute según $a\in\mathbb R$ el sistema $x+y=1$, $x+ay=2$. Las rectas ilustran tres valores del parámetro de la segunda ecuación.
Discute según $a\in\mathbb R$ el sistema $x+y=1$, $x+ay=2$.
Las rectas ilustran tres valores del parámetro de la segunda ecuación.
Una incógnita y dos ecuaciones: el caso que se anula
El caso más simple de discusión es $ax=b$. Si $a\ne0$, se divide y hay solución única $x=b/a$. Si $a=0$, la ecuación queda $0=b$: es incompatible si $b\neq0$ y se cumple siempre (infinitas soluciones) si $b=0$. Dividir por un parámetro es suponer que no es cero, y ese supuesto hay que declararlo.
El mismo fenómeno se ve en dos ecuaciones: $x+y=2$, $2x+2y=b$. Al restar $2\cdot$(primera) a la segunda queda $0=b-4$.
Si el sistema es cuadrado ($n$ ecuaciones, $n$ incógnitas), los valores críticos son las raíces de $\det A(a)=0$: si $\det A\ne0$ el sistema es compatible determinado (regla de Cramer o invertibilidad). Para cada raíz hay que calcular los rangos de $A$ y de $(A|b)$ por separado.
Practica★★☆Sin empezar
Discute $x+y+z=1$, $x+ay+z=2$, $x+y+az=2$ según $a\in\mathbb R$.
Discute $x+y+z=1$, $x+ay+z=2$, $x+y+az=2$ según $a\in\mathbb R$.
Clasifica el sistema homogéneo $x+ay=0$, $ax+y=0$ y da bases de sus soluciones según $a\in\mathbb R$. El diagrama recuerda que se buscan vectores enviados al origen…
Clasifica el sistema homogéneo $x+ay=0$, $ax+y=0$ y da bases de sus soluciones según $a\in\mathbb R$.
El diagrama recuerda que se buscan vectores enviados al origen según el parámetro.
Con más ecuaciones que incógnitas, o con parámetros en el término independiente, se compara rango a rango. Los parámetros del término independiente $b$ no afectan a $\operatorname{rg}A$: solo pueden hacer crecer $\operatorname{rg}(A|b)$. Por eso condicionan la compatibilidad, pero no la unicidad.
En el plano de parámetros $(a,b)$ el resultado se resume en un dibujo: una recta y un punto distinguidos.
Practica★☆☆Sin empezar
El sistema $x+y=1$, $x+ay=b$ tiene parámetros reales $a,b$. Clasifica solo el caso $a=1$.
El sistema $x+y=1$, $x+ay=b$ tiene parámetros reales $a,b$. Clasifica solo el caso $a=1$.
Parámetros y límites: continuidad en el valor crítico
Cuando $A(t)$ depende de forma continua de $t$, el valor crítico $t_0$ plantea una pregunta de análisis: si para $t\neq t_0$ hay solución única $x(t)$, ¿qué pasa con $x(t)$ al acercarse a $t_0$? Puede divergir, o converger; y aun convergiendo, el sistema en $t_0$ puede ser incompatible.
El recíproco es falso: que el sistema sea compatible en $t_0$ no garantiza que $x(t)$ converja. Ejemplo: $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\0&t\end{pmatrix}$ con $b=(b_1,b_2)^T$. Para $t\neq0$, de $tx_2=b_2$ y $tx_1+x_2=b_1$ resulta $x_2=\dfrac{b_2}{t}$ y $x_1=\dfrac{b_1}{t}-\dfrac{b_2}{t^2}$.
Practica★★★Sin empezar
Para $t\in\mathbb R$, sea $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\0&t\end{pmatrix}$ y $b=(b_1,b_2)^T$. Determina las condiciones sobre $b$ para que la solución de $A(t)x=b$, definida…
Para $t\in\mathbb R$, sea $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\0&t\end{pmatrix}$ y $b=(b_1,b_2)^T$. Determina las condiciones sobre $b$ para que la solución de $A(t)x=b$, definida para $t\ne0$, permanezca acotada cuando $t\to0$. Compara con la compatibilidad del sistema en $t=0$.
Un sistema $A(t)x=b(t)$, con coeficientes continuos en $t$, tiene solución única cuando $t\ne0$. ¿Puede ser incompatible en $t=0$ si sus soluciones convergen a un vector…
Un sistema $A(t)x=b(t)$, con coeficientes continuos en $t$, tiene solución única cuando $t\ne0$. ¿Puede ser incompatible en $t=0$ si sus soluciones convergen a un vector finito al tender $t$ a cero? Demuestra tu respuesta.