Operaciones, módulo y conjugación
La ecuación $x^2+1=0$ no tiene solución real, pero en ingeniería eléctrica aparece constantemente: la impedancia de una bobina o un condensador es un número «imaginario» y combinarlas en paralelo exige dividir entre sumas de ellas. ¿Cómo se opera con números que no están en la recta real y por qué el resultado de combinar dos impedancias conjugadas vuelve a ser un número real? Este apartado construye esa aritmética y su geometría.
El cuerpo de los números complejos
Un complejo es, en el fondo, un par ordenado $(a,b)$: por eso se representa como un punto (o un vector) del plano, con el eje horizontal para la parte real y el vertical para la imaginaria.
Encuentra los números reales $a,b$ que satisfacen $(a+bi)+(2-3i)=5+i$.
Encuentra los números reales $a,b$ que satisfacen $(a+bi)+(2-3i)=5+i$.
En $\mathbb C$, calcula $(3-2i)+(1+5i)$ y $(3-2i)(1+5i)$, con $i^2=-1$.
En $\mathbb C$, calcula $(3-2i)+(1+5i)$ y $(3-2i)(1+5i)$, con $i^2=-1$.
Suma, producto y cociente
Para dividir, el truco es eliminar $i$ del denominador multiplicando por su conjugado, usando que $(c+di)(c-di)=c^2+d^2$ es real.
Escribe $(2+i)/(1-2i)$ en forma $a+bi$, con $a,b\in\mathbb R$.
Escribe $(2+i)/(1-2i)$ en forma $a+bi$, con $a,b\in\mathbb R$.
Dos impedancias complejas son $Z_1=2+2i\ \Omega$ y $Z_2=2-2i\ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente en paralelo $Z=Z_1Z_2/(Z_1+Z_2)$ y justifica que es real.
Dos impedancias complejas son $Z_1=2+2i\ \Omega$ y $Z_2=2-2i\ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente en paralelo $Z=Z_1Z_2/(Z_1+Z_2)$ y justifica que es real.
Conjugado y módulo
Representa $z=-3+4i$ y su conjugado en el plano complejo. Calcula sus módulos. El plano sitúa el número complejo dado.
Representa $z=-3+4i$ y su conjugado en el plano complejo. Calcula sus módulos.
El plano sitúa el número complejo dado.
Resuelve en $\mathbb C$ la ecuación $z+2\overline z=6-3i$.
Resuelve en $\mathbb C$ la ecuación $z+2\overline z=6-3i$.
Determina todos los $z\in\mathbb C$ que cumplen $|z|=5$ y $\operatorname{Im}z=2\operatorname{Re}z$.
Determina todos los $z\in\mathbb C$ que cumplen $|z|=5$ y $\operatorname{Im}z=2\operatorname{Re}z$.
Ecuaciones cuadráticas en $\mathbb C$
La parábola de la figura no corta al eje horizontal: por eso las raíces no son reales.
Resuelve $z^2-2z+5=0$ y verifica las raíces por sustitución.
Resuelve $z^2-2z+5=0$ y verifica las raíces por sustitución.
Lugares geométricos y demostraciones con módulos
El módulo mide distancias: $|z-w|$ es la distancia entre los puntos $z$ y $w$. Así, muchas condiciones sobre $z$ describen figuras del plano.
Vuelve al principio: dos impedancias $2+2i$ y $2-2i$ son conjugadas, y su producto $|Z_1|^2=8$ y su suma $4$ son reales; por eso la equivalente en paralelo es $8/4=2\ \Omega$, real.
Describe geométricamente el conjunto de $z\in\mathbb C$ que cumple $|z-(1+i)|=2$. Indica sus intersecciones con el eje real. La figura sitúa el punto de referencia y un…
Describe geométricamente el conjunto de $z\in\mathbb C$ que cumple $|z-(1+i)|=2$. Indica sus intersecciones con el eje real.
La figura sitúa el punto de referencia y un segmento de longitud 2; debes determinar el lugar geométrico completo.
Para $z\ne1$, demuestra que $\left|(z+1)/(z-1)\right|=1$ si y solo si $\operatorname{Re}z=0$.
Para $z\ne1$, demuestra que $\left|(z+1)/(z-1)\right|=1$ si y solo si $\operatorname{Re}z=0$.
Determina el lugar geométrico $|z-1|=2|z+1|$ en el plano complejo e identifica centro y radio.
Determina el lugar geométrico $|z-1|=2|z+1|$ en el plano complejo e identifica centro y radio.
Demostraciones y ecuaciones con parámetro
Con $z\overline z=|z|^2$ y las fórmulas de $\operatorname{Re}$ e $\operatorname{Im}$ se pueden probar igualdades y resolver ecuaciones con $\overline z$ con parámetros.
Demuestra que $|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$ para $z,w\in\mathbb C$ e interpreta el resultado como identidad de un paralelogramo.
Demuestra que $|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$ para $z,w\in\mathbb C$ e interpreta el resultado como identidad de un paralelogramo.
Sean $z,w\in\mathbb C$ no nulos. Demuestra que $|z+w|=|z|+|w|$ si y solo si $z/w$ es real positivo.
Sean $z,w\in\mathbb C$ no nulos. Demuestra que $|z+w|=|z|+|w|$ si y solo si $z/w$ es real positivo.
Clasifica las soluciones de $z+a\overline z=b$ según el parámetro $a\in\mathbb R$ y el dato $b=u+vi\in\mathbb C$, con $u,v\in\mathbb R$.
Clasifica las soluciones de $z+a\overline z=b$ según el parámetro $a\in\mathbb R$ y el dato $b=u+vi\in\mathbb C$, con $u,v\in\mathbb R$.