Independencia, generadores y bases
Dos fuerzas en el plano, $u=(2,0)$ N y $v=(1,3)$ N, ¿bastan para fabricar cualquier otra fuerza combinándolas? Y si añadimos una tercera, ¿estamos aportando información nueva o solo repitiendo lo que ya teníamos? Este apartado da respuesta exacta a ambas preguntas: «suficientes» se llama generar, «sin repeticiones» se llama independencia, y las dos cosas a la vez forman una base.
Combinaciones lineales y generadores
La idea es geométrica: un vector genera una recta; dos vectores no alineados generan un plano; si el segundo ya estaba en la recta del primero, no añade nada.
Para decidir si un vector $w$ está en $\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_k\}$ hay que resolver el sistema $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_kv_k=w$. Es siempre un sistema lineal: las columnas son los $v_j$.
Sean fuerzas planas $u=(2,0)$ y $v=(1,3)$ en newtons. ¿Se puede obtener cualquier fuerza del plano combinando $u$ y $v$ con coeficientes reales? El dibujo sitúa las dos…
Sean fuerzas planas $u=(2,0)$ y $v=(1,3)$ en newtons. ¿Se puede obtener cualquier fuerza del plano combinando $u$ y $v$ con coeficientes reales?
El dibujo sitúa las dos fuerzas disponibles en el plano.
Decide si $(1,2)$ y $(2,4)$ son linealmente independientes y determina el subespacio que generan.
Decide si $(1,2)$ y $(2,4)$ son linealmente independientes y determina el subespacio que generan.
Independencia lineal
¿Por qué esta definición? Si hay una relación $\sum\lambda_jv_j=0$ con $\lambda_m\ne0$, se despeja $v_m$ como combinación de los demás: es redundante. Independencia significa que ningún vector sobra.
Estudia la independencia de $1$, $e^x$ y $e^{2x}$ como funciones reales de variable real.
Estudia la independencia de $1$, $e^x$ y $e^{2x}$ como funciones reales de variable real.
Sean $u=(1,i)$ y $v=(i,-1)$ en $\mathbb C^2$. Estudia su independencia sobre $\mathbb C$ y sobre $\mathbb R$.
Sean $u=(1,i)$ y $v=(i,-1)$ en $\mathbb C^2$. Estudia su independencia sobre $\mathbb C$ y sobre $\mathbb R$.
Demuestra que, si $v_1,\ldots,v_n$ es una base y $w_j=v_1+\cdots+v_j$, entonces $w_1,\ldots,w_n$ también es una base.
Demuestra que, si $v_1,\ldots,v_n$ es una base y $w_j=v_1+\cdots+v_j$, entonces $w_1,\ldots,w_n$ también es una base.
Bases y dimensión
Las bases usuales son la referencia: $\mathbb K^n$ tiene la base canónica $(e_1,\ldots,e_n)$ y dimensión $n$; $\mathcal P_n(\mathbb R)$ tiene $(1,x,\ldots,x^n)$ y dimensión $n+1$; $\mathcal M_{2\times2}(\mathbb R)$ tiene las cuatro matrices con un único $1$ y dimensión $4$. Un espacio complejo de dimensión $n$ tiene dimensión $2n$ como espacio real.
Comprueba que $B=((1,1),(1,-1))$ es una base de $\mathbb R^2$.
Comprueba que $B=((1,1),(1,-1))$ es una base de $\mathbb R^2$.
¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes en $\mathbb C^3$ sobre $\mathbb C$? Justifica si cuatro vectores pueden formar una base.
¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes en $\mathbb C^3$ sobre $\mathbb C$? Justifica si cuatro vectores pueden formar una base.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ los vectores $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,a)$ forman base de $\mathbb R^3$.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ los vectores $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,a)$ forman base de $\mathbb R^3$.
Extraer y ampliar bases
En $\mathbb K^n$ el método práctico es escalonar la matriz con los vectores por columnas: las columnas de la matriz original que contienen pivote forman una base del subespacio generado.
Extrae una base de la familia $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)$ en $\mathbb R^3$.
Extrae una base de la familia $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)$ en $\mathbb R^3$.
Amplía $u=(1,1,0)$ y $v=(0,1,1)$ a una base de $\mathbb R^3$ con un vector de la base usual. El esquema representa los dos vectores que deben conservarse al ampliar la…
Amplía $u=(1,1,0)$ y $v=(0,1,1)$ a una base de $\mathbb R^3$ con un vector de la base usual.
El esquema representa los dos vectores que deben conservarse al ampliar la familia.
Una familia $S$ genera un espacio real de dimensión cinco y contiene siete vectores. Una subfamilia de tres de ellos es independiente. Demuestra que se puede extraer de…
Una familia $S$ genera un espacio real de dimensión cinco y contiene siete vectores. Una subfamilia de tres de ellos es independiente. Demuestra que se puede extraer de $S$ una base que contenga esos tres, e indica cuántos vectores hay que añadir.
Bases en polinomios, matrices, funciones y parámetros
El método es siempre el mismo: expresar los elementos mediante coordenadas respecto a una base conocida y reducir el problema a $\mathbb K^n$.
Da la base usual de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ y expresa $3-2x+5x^2$ como combinación de sus elementos.
Da la base usual de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ y expresa $3-2x+5x^2$ como combinación de sus elementos.
Encuentra una base del espacio de matrices reales $2\times2$ de traza cero y calcula su dimensión.
Encuentra una base del espacio de matrices reales $2\times2$ de traza cero y calcula su dimensión.
Para $a\in\mathbb R$, determina la dimensión y una base de $U_a=\operatorname{span}\{(1,a,0),(0,1,a),(a,0,1)\}$.
Para $a\in\mathbb R$, determina la dimensión y una base de $U_a=\operatorname{span}\{(1,a,0),(0,1,a),(a,0,1)\}$.