Coordenadas y cambios de base
Un dron se desplaza «2 pasos en una dirección y −1 en otra», pero el piloto usa ejes inclinados 45° respecto al mapa del servidor. El desplazamiento físico es el mismo; lo que cambia son los números que lo describen. ¿Qué significa exactamente que un vector «tenga coordenadas» y cómo se traducen entre dos sistemas de referencia?
Coordenadas respecto a una base
Una base permite escribir cada vector de forma única como combinación lineal de sus elementos. Los coeficientes de esa combinación son las coordenadas. Como importa el orden, se trabaja con bases ordenadas.
Sea $B=((1,1),(1,-1))$. Calcula las coordenadas de $v=(5,1)$ en $B$.
Sea $B=((1,1),(1,-1))$. Calcula las coordenadas de $v=(5,1)$ en $B$.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$ con base $B=(1,x,1+x^2)$, calcula las coordenadas de $2+3x+4x^2$.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$ con base $B=(1,x,1+x^2)$, calcula las coordenadas de $2+3x+4x^2$.
En $\mathbb C$ considerado como espacio real, calcula las coordenadas de $3-2i$ en la base ordenada $(1,i)$ y en $(i,1)$.
En $\mathbb C$ considerado como espacio real, calcula las coordenadas de $3-2i$ en la base ordenada $(1,i)$ y en $(i,1)$.
De coordenadas en $B$ a coordenadas usuales
Reconstruir el vector a partir de sus coordenadas es solo una combinación lineal, es decir, un producto matriz por columna.
En la base $B=((2,0),(1,3))$ de $\mathbb R^2$, un vector tiene coordenadas $(-1,2)^T$. Obtén sus coordenadas usuales.
En la base $B=((2,0),(1,3))$ de $\mathbb R^2$, un vector tiene coordenadas $(-1,2)^T$. Obtén sus coordenadas usuales.
Escribe la matriz que transforma coordenadas en $B=((1,0,1),(0,1,1),(0,0,1))$ a coordenadas usuales de $\mathbb R^3$.
Escribe la matriz que transforma coordenadas en $B=((1,0,1),(0,1,1),(0,0,1))$ a coordenadas usuales de $\mathbb R^3$.
Un desplazamiento tiene coordenadas $(2,-1)^T$ en la base física $b_1=(1,1)$ metros, $b_2=(-1,1)$ metros. Obtén el desplazamiento en ejes cartesianos y su longitud. La…
Un desplazamiento tiene coordenadas $(2,-1)^T$ en la base física $b_1=(1,1)$ metros, $b_2=(-1,1)$ metros. Obtén el desplazamiento en ejes cartesianos y su longitud.
La figura fija la orientación y la escala de los vectores de la base física.
Se afirma que la matriz con columnas $b_1,b_2,b_3$ transforma coordenadas usuales en coordenadas en $B$. Explica el error y verifica el sentido correcto con…
Se afirma que la matriz con columnas $b_1,b_2,b_3$ transforma coordenadas usuales en coordenadas en $B$. Explica el error y verifica el sentido correcto con $B=(e_1,2e_2,3e_3)$ y $v=(1,2,3)$.
Matriz de cambio de base
Sean $B=((1,0),(1,1))$ y $C=((1,1),(0,1))$. Calcula $P_{C\leftarrow B}$, definida por $[v]C=P_{C\leftarrow B}[v]B$.
Sean $B=((1,0),(1,1))$ y $C=((1,1),(0,1))$. Calcula $P_{C\leftarrow B}$, definida por $[v]_C=P_{C\leftarrow B}[v]_B$.
Sea $B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))$. Determina las coordenadas de $(2,3,4)$ en $B$.
Sea $B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))$. Determina las coordenadas de $(2,3,4)$ en $B$.
Una base plana gira respecto a la usual: $b_1=(\cos\theta,\sen\theta)$, $b_2=(-\sen\theta,\cos\theta)$. Deduce la transformación de coordenadas usuales a coordenadas en…
Una base plana gira respecto a la usual: $b_1=(\cos\theta,\sen\theta)$, $b_2=(-\sen\theta,\cos\theta)$. Deduce la transformación de coordenadas usuales a coordenadas en esa base.
El esquema distingue el giro de los ejes de las coordenadas del vector.
Composición, inversa y otros espacios
El mismo método funciona en cualquier espacio de dimensión finita: basta fijar bases y trabajar con columnas.
Sean $B=(1,x,x^2)$ y $C=(1,x-1,(x-1)^2)$ en $\mathcal P_2(\mathbb R)$. Calcula $P_{B\leftarrow C}$ y las coordenadas en $C$ de $x^2+2x+3$.
Sean $B=(1,x,x^2)$ y $C=(1,x-1,(x-1)^2)$ en $\mathcal P_2(\mathbb R)$. Calcula $P_{B\leftarrow C}$ y las coordenadas en $C$ de $x^2+2x+3$.
Dados $P_{C\leftarrow B}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y $P_{D\leftarrow C}=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$, calcula $P_{D\leftarrow B}$ y transforma…
Dados $P_{C\leftarrow B}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ y $P_{D\leftarrow C}=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$, calcula $P_{D\leftarrow B}$ y transforma $[v]_B=(1,-1)^T$.
Para tres bases $B,C,D$ de un mismo espacio, demuestra $P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}$ y $P_{B\leftarrow C}=P_{C\leftarrow B}^{-1}$ sin usar…
Para tres bases $B,C,D$ de un mismo espacio, demuestra $P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}$ y $P_{B\leftarrow C}=P_{C\leftarrow B}^{-1}$ sin usar coordenadas concretas.
Casos complejos, parámetros y análisis
Los mismos resultados valen sobre $\mathbb C$: si el espacio es complejo, los escalares son complejos, y por tanto las coordenadas pueden serlo, aunque el vector parezca «real».
Cuando la base depende de un parámetro, hay valores donde deja de serlo.
En el espacio de matrices simétricas $2\times2$, usa la base $B=(E_{11},E_{12}+E_{21},E_{22})$. Da las coordenadas de $A=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}$ y…
En el espacio de matrices simétricas $2\times2$, usa la base $B=(E_{11},E_{12}+E_{21},E_{22})$. Da las coordenadas de $A=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}$ y construye la matriz de cambio hacia $C=(I,E_{12}+E_{21},E_{11}-E_{22})$.
En $\mathbb C^2$, sean $B=((1,i),(0,1))$ y $v=(2+i,3)$. Calcula $[v]B$ y explica por qué sus coordenadas pueden ser complejas.
En $\mathbb C^2$, sean $B=((1,i),(0,1))$ y $v=(2+i,3)$. Calcula $[v]_B$ y explica por qué sus coordenadas pueden ser complejas.
Sean $B_a=((1,a),(a,1))$. Estudia cuándo es base y determina las coordenadas de un vector $(x,y)$ en ella. Analiza qué ocurre con $v=(1,1)$ al aproximarse $a$ a $1$.
Sean $B_a=((1,a),(a,1))$. Estudia cuándo es base y determina las coordenadas de un vector $(x,y)$ en ella. Analiza qué ocurre con $v=(1,1)$ al aproximarse $a$ a $1$.
Vuelve al principio: el desplazamiento del dron es un único vector; con ejes inclinados se describe con una columna $[v]_B$ y con ejes del servidor con $v=M_B[v]_B$.