Espacio dual y funcionales
Un sensor mide la temperatura en un punto, una célula de carga da el peso de una pieza, una fuerza fija calcula el trabajo de cualquier desplazamiento. En los tres casos hay una regla que recibe un vector y devuelve un número, y lo hace linealmente. ¿Qué estructura forman todas esas reglas a la vez, y cómo se describen con coordenadas? Al final del apartado lo respondemos: forman un espacio vectorial de la misma dimensión que el original.
Funcionales lineales
Ejemplos típicos: $\varphi(x,y,z)=2x-y+3z$ en $\mathbb{R}^3$ (combinación lineal de coordenadas), la evaluación $p \mapsto p(1)$ en $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$, o la traza en matrices. En $\mathbb{R}^n$, todo funcional es de la forma $\varphi(v)=a_1x_1+\dots+a_nx_n$, es decir, el producto de una fila $(a_1,\dots,a_n)$ por el vector columna.
Sea $\varphi:\mathbb R^3\to\mathbb R$, $\varphi(x,y,z)=2x-y+3z$. Justifica que es un funcional lineal y calcula $\varphi(1,2,-1)$.
Sea $\varphi:\mathbb R^3\to\mathbb R$, $\varphi(x,y,z)=2x-y+3z$. Justifica que es un funcional lineal y calcula $\varphi(1,2,-1)$.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, comprueba que $\varphi(p)=p(1)$ es lineal y calcula sus valores sobre la base $(1,x,x^2)$. El punto señalado representa la evaluación que…
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, comprueba que $\varphi(p)=p(1)$ es lineal y calcula sus valores sobre la base $(1,x,x^2)$.
El punto señalado representa la evaluación que define el funcional.
Base dual
Un funcional queda determinado por sus valores sobre una base, porque es lineal. Esto permite construir una base canónica del dual.
En $\mathbb R^2$ con base usual, define $\varepsilon_1(x,y)=x$ y $\varepsilon_2(x,y)=y$. Expresa $\varphi(x,y)=3x-4y$ en esa familia y explica por qué es una base del…
En $\mathbb R^2$ con base usual, define $\varepsilon_1(x,y)=x$ y $\varepsilon_2(x,y)=y$. Expresa $\varphi(x,y)=3x-4y$ en esa familia y explica por qué es una base del dual.
Sea $V$ real de dimensión cuatro. ¿Cuál es la dimensión de su dual $V^$? Describe cómo se construye una base dual a partir de una base de $V$.
Sea $V$ real de dimensión cuatro. ¿Cuál es la dimensión de su dual $V^*$? Describe cómo se construye una base dual a partir de una base de $V$.
Calcula la base dual a $B=((1,1),(1,-1))$ de $\mathbb R^2$, dando sus funcionales como fórmulas en $x,y$.
Calcula la base dual a $B=((1,1),(1,-1))$ de $\mathbb R^2$, dando sus funcionales como fórmulas en $x,y$.
Encuentra la base dual a $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ expresándola mediante evaluaciones y derivadas.
Encuentra la base dual a $B=(1,x-1,(x-1)^2)$ de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ expresándola mediante evaluaciones y derivadas.
Funcionales concretos y evaluaciones
Los funcionales de evaluación son útiles en polinomios: $p\mapsto p(a)$ o $p\mapsto p'(a)$. Una familia de $n$ de ellos es base del dual de $\mathcal{P}_{n-1}$ cuando la única función que los anula a todos es el polinomio cero.
El trabajo de una fuerza constante se modeliza por $\varphi(v)=F\cdot v$, con $F=(2,-1,3)$ fijo. Interpreta $\varphi$ como funcional, calcula su núcleo y decide si es…
El trabajo de una fuerza constante se modeliza por $\varphi(v)=F\cdot v$, con $F=(2,-1,3)$ fijo. Interpreta $\varphi$ como funcional, calcula su núcleo y decide si es inyectivo.
El esquema distingue la fuerza fija del desplazamiento sobre el que actúa el funcional.
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $\varphi_0(p)=p(0)$, $\varphi_1(p)=p(1)$ y $\varphi_2(p)=p(2)$. Demuestra que forman una base del dual y encuentra el polinomio cuyas…
En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $\varphi_0(p)=p(0)$, $\varphi_1(p)=p(1)$ y $\varphi_2(p)=p(2)$. Demuestra que forman una base del dual y encuentra el polinomio cuyas coordenadas respecto de la base primal dual a ellos son $(1,0,1)^T$.
Anulador de un subespacio
Además, para subespacios $U,W$ de un espacio finito: $(U+W)^\circ=U^\circ\cap W^\circ$ y $(U\cap W)^\circ=U^\circ+W^\circ$. La primera es directa: anularse en $U+W$ equivale a anularse en $U$ y en $W$. La segunda sale de la primera y de contar dimensiones.
Sea $U=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}\subset\mathbb R^3$. Encuentra todos los funcionales que se anulan en $U$ y da una base de ese subespacio del dual.
Sea $U=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}\subset\mathbb R^3$. Encuentra todos los funcionales que se anulan en $U$ y da una base de ese subespacio del dual.
Sea $U\subset V$ de dimensión $r$, con $\dim V=n$. Define su anulador $U^\circ=\{\varphi\in V^: \varphi(u)=0\text{ para todo }u\in U\}$. Demuestra que $\dim U^\circ=n-r$.
Sea $U\subset V$ de dimensión $r$, con $\dim V=n$. Define su anulador $U^\circ=\{\varphi\in V^*: \varphi(u)=0\text{ para todo }u\in U\}$. Demuestra que $\dim U^\circ=n-r$.
Sean $U,W$ subespacios de un espacio finito $V$. Demuestra $(U+W)^\circ=U^\circ\cap W^\circ$ y $(U\cap W)^\circ=U^\circ+W^\circ$.
Sean $U,W$ subespacios de un espacio finito $V$. Demuestra $(U+W)^\circ=U^\circ\cap W^\circ$ y $(U\cap W)^\circ=U^\circ+W^\circ$.
Aplicación dual y cambio de base
Cambio de base
Si $P=P_{B\leftarrow C}$ expresa los vectores de $C$ en coordenadas de $B$, las coordenadas de un vector cumplen $[v]_B=P[v]_C$. Los coeficientes de un funcional, como fila, se transforman al contrario: $[\varphi]_{C^*}=P^T[\varphi]_{B^*}$, pues $\varphi(w_j)=\sum_i a_i P_{ij}$ con $w_j$ el $j$-ésimo vector de $C$. La transpuesta aparece porque el funcional se evalúa sobre los vectores nuevos, a diferencia de las coordenadas, que se miden contra ellos.
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $T(x,y)=(x+y,x,y)$. La aplicación dual se define por $T^(\varphi)=\varphi\circ T$. Calcula $T^(\varphi)$ para…
Sea $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$, $T(x,y)=(x+y,x,y)$. La aplicación dual se define por $T^*(\varphi)=\varphi\circ T$. Calcula $T^*(\varphi)$ para $\varphi(u,v,w)=au+bv+cw$ y la matriz de $T^*$ en las bases duales usuales.
Sea $T:V\to W$ lineal entre espacios reales finitos. Demuestra $\ker T^=(\operatorname{im}T)^\circ$ y deduce que $T^$ es inyectiva si y solo si $T$ es sobreyectiva.
Sea $T:V\to W$ lineal entre espacios reales finitos. Demuestra $\ker T^*=(\operatorname{im}T)^\circ$ y deduce que $T^*$ es inyectiva si y solo si $T$ es sobreyectiva.
Sea $B$ una base y $C$ otra con matriz $P_{B\leftarrow C}=P$. Deduce cómo cambia el vector columna de coeficientes de un funcional al pasar de la base dual $B^$ a $C^$ y…
Sea $B$ una base y $C$ otra con matriz $P_{B\leftarrow C}=P$. Deduce cómo cambia el vector columna de coeficientes de un funcional al pasar de la base dual $B^*$ a $C^*$ y explica por qué aparece una transpuesta.
Vuelve al principio: todas las reglas lineales «vector → número» forman $V^*$, un espacio de dimensión $n=\dim V$, cuya base dual se lee directamente con las coordenadas.