Una transformación del plano puede parecer un revoltijo de giros y deformaciones, pero a veces existen direcciones donde solo estira o encoge. Si encuentras suficientes direcciones así, la transformación se vuelve tan simple como multiplicar cada coordenada por un número. ¿Cuándo existen suficientes direcciones? ¿Por qué una matriz como un giro no las tiene sobre $\mathbb R$ y sí sobre $\mathbb C$?
Qué significa diagonalizar
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Diagonaliza sobre $\mathbb R$ la matriz $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$: proporciona $P,D$ y comprueba $AP=PD$.
Diagonaliza sobre $\mathbb R$ la matriz $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$: proporciona $P,D$ y comprueba $AP=PD$.
Diagonaliza $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$, usando como columnas de $P$ vectores de coordenadas enteras. La imagen del cuadrado unidad…
Diagonaliza $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ sobre $\mathbb R$, usando como columnas de $P$ vectores de coordenadas enteras.
La imagen del cuadrado unidad permite visualizar la transformación antes de cambiar de base.
Una transformación de $\mathbb R^2$ satisface $T(1,1)=2(1,1)$ y $T(1,-1)=-(1,-1)$. Calcula su matriz en la base canónica usando una diagonalización. La figura representa…
Una transformación de $\mathbb R^2$ satisface $T(1,1)=2(1,1)$ y $T(1,-1)=-(1,-1)$. Calcula su matriz en la base canónica usando una diagonalización.
La figura representa los dos vectores de partida y sus imágenes, datos que definen la transformación.
Sea $A$ real $4\times4$ con polinomio característico $(t-1)^2(t+2)^2$. Se sabe que $\operatorname{rango}(A-I)=2$ y $\operatorname{rango}(A+2I)=2$. ¿Es diagonalizable?…
Sea $A$ real $4\times4$ con polinomio característico $(t-1)^2(t+2)^2$. Se sabe que $\operatorname{rango}(A-I)=2$ y $\operatorname{rango}(A+2I)=2$. ¿Es diagonalizable? Razona sin hallar sus entradas.
Cuando un autovalor se repite, hay que calcular $\dim E_\lambda$. Si la matriz depende de un parámetro, la diagonalizabilidad suele cambiar solo para valores concretos de él, que son los que hay que detectar.
La siguiente gráfica muestra por qué el caso límite es crítico: al juntarse los dos autovalores $\pm a$ en $a=0$, los dos autovectores colapsan en uno solo.
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Sea $A=5I_3$. Describe todas las matrices invertibles $P$ que pueden intervenir en una diagonalización $A=PDP^{-1}$ y determina $D$.
Sea $A=5I_3$. Describe todas las matrices invertibles $P$ que pueden intervenir en una diagonalización $A=PDP^{-1}$ y determina $D$.
Estudia la diagonalizabilidad real de $A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ según $a\in\mathbb R$. Cuando sea posible, da una diagonalización.
Estudia la diagonalizabilidad real de $A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ según $a\in\mathbb R$. Cuando sea posible, da una diagonalización.
Un giro de $90^\circ$ no deja ninguna recta invariante en $\mathbb R^2$, así que no tiene autovectores reales. Sobre $\mathbb C$, en cambio, su polinomio característico sí se descompone.
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Decide si $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$. En el segundo cuerpo da $P,D$.
Decide si $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$ y sobre $\mathbb C$. En el segundo cuerpo da $P,D$.
Una vez diagonalizada $A=PDP^{-1}$, muchas operaciones con $A$ se reducen a operar con números: $A^k=PD^kP^{-1}$, y para un polinomio $q$ se cumple $q(A)=P\,q(D)\,P^{-1}$. Por eso, cualquier polinomio en $A$ se diagonaliza con la misma $P$.
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Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ calcula una matriz invertible $P$ que haga diagonal $P^{-1}(A^2-3A)P$, reutilizando autovectores de $A$.
Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ calcula una matriz invertible $P$ que haga diagonal $P^{-1}(A^2-3A)P$, reutilizando autovectores de $A$.
Una matriz real $A$ satisface $(A-I)(A-2I)=0$. Demuestra directamente que es diagonalizable y expresa cualquier $x$ como suma de un vector de $E_1$ y otro de $E_2$.
Una matriz real $A$ satisface $(A-I)(A-2I)=0$. Demuestra directamente que es diagonalizable y expresa cualquier $x$ como suma de un vector de $E_1$ y otro de $E_2$.
Vuelve al principio: hay suficientes direcciones de estiramiento exactamente cuando $m_g=m_a$ para todos los autovalores y estos están en el cuerpo elegido; el giro de $90^\circ$ las tiene solo en $\mathbb C$.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado