Ejercicios: Suma, intersección y suma directa

Sean $U=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}$. Calcula $U+W$ y $U\cap W$ e indica si la suma es directa.

Sean $U=\{(x,y,z):z=0\}$ y $W=\{(x,y,z):x=0\}$. Encuentra una base de su intersección.

Si $U\subseteq W$ son subespacios, expresa $U+W$ y $U\cap W$ en términos de $U,W$. Justifica.

Descompón $(3,-2,5)$ como suma de un vector del plano $z=0$ y otro del eje $z$. ¿Es única?

Las líneas auxiliares muestran las direcciones permitidas para la descomposición.

En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera los polinomios pares $E$ y los impares $O$. Da bases de ambos y decide si $\mathcal P_3(\mathbb R)=E\oplus O$.

Dos subespacios $U,W$ tienen dimensiones tres y dos, y su intersección dimensión uno. Calcula la dimensión de $U+W$.

En $\mathbb R^3$, sean $U=\{x+y+z=0\}$ y $W=\{x-y=0\}$. Calcula bases de $U\cap W$ y $U+W$.

Sean $U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}$ y $W=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}$. Comprueba si $\mathbb R^3=U\oplus W$ y descompón $(2,1,3)$ cuando proceda.

En $\mathcal P_2(\mathbb R)$, sean $U=\{p:p(0)=0\}$ y $W=\{p:p(1)=0\}$. Halla bases de la suma y la intersección.

En $M_2(\mathbb R)$, descompón $A=\begin{pmatrix}2&5\\-1&3\end{pmatrix}$ en una matriz simétrica y otra antisimétrica. Explica por qué la descomposición es única.

Para $U=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}\subset\mathbb R^3$, encuentra dos subespacios distintos $W_1,W_2$ que sean complementarios de $U$.

En $\mathbb R^4$, sean $U=\operatorname{span}\{e_1,e_2,e_3\}$ y $W=\operatorname{span}\{e_2,e_3,e_4\}$. Comprueba la fórmula de Grassmann con bases explícitas.

Un desplazamiento plano debe escribirse como suma de uno paralelo a $u=(1,1)$ y otro paralelo a $v=(1,-2)$. Obtén la descomposición de $d=(4,1)$ y argumenta su unicidad.

Las tres flechas permiten comparar el desplazamiento con las direcciones disponibles.

Sea $U=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ y $W_a=\operatorname{span}\{(1,1,a)\}$. Determina para qué $a\in\mathbb R$ se tiene $\mathbb R^3=U\oplus W_a$.

Prueba la fórmula $\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$ completando una base de la intersección.

Sean $U,W,Z$ subespacios. Demuestra $U+(W\cap Z)\subseteq(U+W)\cap(U+Z)$ y da un ejemplo en $\mathbb R^2$ donde la inclusión sea estricta.

Sean $U,W\subset\mathbb R^5$ con $\dim U=\dim W=3$. Determina todos los valores posibles de $\dim(U\cap W)$ y construye ejemplos usando la base usual.

Si $V=U\oplus W$, demuestra que todo complemento $Z$ de $W$ es la gráfica $Z=\{u+T(u):u\in U\}$ de una única aplicación lineal $T:U\to W$.

Sean $U=\{(x,y,z):z=0\}$, $W=\{(x,y,z):y=0\}$ y $Z=\{(x,y,z):x=0\}$. ¿Es directa su suma? Compara con la suma de los tres ejes coordenados y formula el criterio de unicidad para tres sumandos.

En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, sea $U=\{p:p(0)=p(1)=0\}$ y $W_a=\operatorname{span}\{1,x+a x^2\}$. Clasifica cuándo $\mathcal P_3(\mathbb R)=U\oplus W_a$ y, en esos casos, da una fórmula de la componente en $W_a$ de un polinomio $p$.