Ejercicios: Espacios y subespacios reales y complejos

Decide si $U=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=2x\}$ es subespacio de $\mathbb R^2$. Justifica las tres condiciones de subespacio.

La recta representada permite interpretar geométricamente la condición.

¿Es $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\}$ un subespacio? Explica el papel del vector cero.

Decide si los polinomios reales de grado a lo sumo tres que se anulan en $0$ forman un subespacio de $\mathcal P_3(\mathbb R)$.

En $\mathbb R^2$, estudia si el conjunto $Q=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0\}$ es un subespacio.

Considera $U=\{(z,w)\in\mathbb C^2:w=iz\}$. Comprueba si es subespacio sobre $\mathbb C$ y escribe un generador.

En un nodo de un circuito, las corrientes con signo satisfacen $i_1+i_2-i_3=0$. ¿El conjunto de ternas admisibles es un subespacio real? Relaciona tu respuesta con el principio de superposición.

Estudia si $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:xy=0\}$ es un subespacio. Si no lo es, identifica una propiedad que falla.

El esquema muestra los dos planos que componen el conjunto.

Determina los valores de $a\in\mathbb R$ para los que $U_a=\{(x,y,z):x-2y+z=a\}$ es subespacio de $\mathbb R^3$.

Sea $H=\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}z=0\}$. Decide si es subespacio de $\mathbb C$ visto como espacio real y como espacio complejo.

Demuestra que las matrices simétricas reales $2\times2$ forman un subespacio de $M_2(\mathbb R)$ y da una parametrización sin redundancia.

Determina si las funciones pares continuas forman un subespacio de $C(\mathbb R)$ y si el conjunto de funciones continuas estrictamente positivas lo forma.

Para $a\in\mathbb R$, estudia si $U_a=\{p\in\mathcal P_2(\mathbb R):p(1)=a\cdot p(0)\}$ es subespacio y parametrízalo.

En $M_2(\mathbb R)$, decide si las matrices invertibles y las matrices de determinante cero forman subespacios.

Un sistema impone $x+y+z=0$ y $2x-y+z=0$. Parametriza su conjunto de estados y comprueba que es subespacio.

Demuestra que la unión de dos subespacios $U,W$ de un espacio vectorial es subespacio si y solo si $U\subseteq W$ o $W\subseteq U$.

Sea $A\in M_n(\mathbb R)$ y $C(A)=\{X\in M_n(\mathbb R):AX=XA\}$. Prueba que $C(A)$ es subespacio y descríbelo para $A=\operatorname{diag}(1,2)$.

En $\mathbb C^2$, considera $U=\{(z,\overline z):z\in\mathbb C\}$. Estudia su estructura como subespacio real y complejo, y calcula su dimensión cuando proceda.

Para $a\in\mathbb R$, estudia cuándo $S_a=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+2axy+y^2=0\}$ es subespacio y descríbelo en esos casos.

Sean $V$ un espacio real y $S\ne\varnothing$ tal que $u-v\in S$ para cualesquiera $u,v\in S$. ¿Basta esta condición para que $S$ sea subespacio? Prueba tu conclusión y explica qué condición adicional sobre escalares lo garantizaría.

En $\mathcal P_3(\mathbb R)$, considera $U_a=\{p:p(0)=0,\ p(a)=0\}$. Encuentra una base y su dimensión para cada $a\in\mathbb R$.