Ejercicios: Independencia, generadores y bases
Decide si $(1,2)$ y $(2,4)$ son linealmente independientes y determina el subespacio que generan.
Decide si $(1,2)$ y $(2,4)$ son linealmente independientes y determina el subespacio que generan.
Comprueba que $B=((1,1),(1,-1))$ es una base de $\mathbb R^2$.
Comprueba que $B=((1,1),(1,-1))$ es una base de $\mathbb R^2$.
Extrae una base de la familia $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)$ en $\mathbb R^3$.
Extrae una base de la familia $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)$ en $\mathbb R^3$.
Da la base usual de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ y expresa $3-2x+5x^2$ como combinación de sus elementos.
Da la base usual de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ y expresa $3-2x+5x^2$ como combinación de sus elementos.
¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes en $\mathbb C^3$ sobre $\mathbb C$? Justifica si cuatro vectores pueden formar una base.
¿Cuál es el máximo número de vectores linealmente independientes en $\mathbb C^3$ sobre $\mathbb C$? Justifica si cuatro vectores pueden formar una base.
Sean fuerzas planas $u=(2,0)$ y $v=(1,3)$ en newtons. ¿Se puede obtener cualquier fuerza del plano combinando $u$ y $v$ con coeficientes reales? El dibujo sitúa las dos…
Sean fuerzas planas $u=(2,0)$ y $v=(1,3)$ en newtons. ¿Se puede obtener cualquier fuerza del plano combinando $u$ y $v$ con coeficientes reales?
El dibujo sitúa las dos fuerzas disponibles en el plano.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ los vectores $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,a)$ forman base de $\mathbb R^3$.
Determina para qué $a\in\mathbb R$ los vectores $(1,0,1),(0,1,1),(1,1,a)$ forman base de $\mathbb R^3$.
Amplía $u=(1,1,0)$ y $v=(0,1,1)$ a una base de $\mathbb R^3$ con un vector de la base usual. El esquema representa los dos vectores que deben conservarse al ampliar la…
Amplía $u=(1,1,0)$ y $v=(0,1,1)$ a una base de $\mathbb R^3$ con un vector de la base usual.
El esquema representa los dos vectores que deben conservarse al ampliar la familia.
Obtén una base del espacio generado por $(1,2,0,1),(0,1,1,0),(1,3,1,1),(2,5,1,2)$.
Obtén una base del espacio generado por $(1,2,0,1),(0,1,1,0),(1,3,1,1),(2,5,1,2)$.
Comprueba si $1+x$, $x+x^2$ y $1-x^2$ forman una base de $\mathcal P_2(\mathbb R)$. Si no, añade o sustituye un polinomio para obtenerla.
Comprueba si $1+x$, $x+x^2$ y $1-x^2$ forman una base de $\mathcal P_2(\mathbb R)$. Si no, añade o sustituye un polinomio para obtenerla.
Encuentra una base del espacio de matrices reales $2\times2$ de traza cero y calcula su dimensión.
Encuentra una base del espacio de matrices reales $2\times2$ de traza cero y calcula su dimensión.
Estudia la independencia de $1$, $e^x$ y $e^{2x}$ como funciones reales de variable real.
Estudia la independencia de $1$, $e^x$ y $e^{2x}$ como funciones reales de variable real.
Sean $u=(1,i)$ y $v=(i,-1)$ en $\mathbb C^2$. Estudia su independencia sobre $\mathbb C$ y sobre $\mathbb R$.
Sean $u=(1,i)$ y $v=(i,-1)$ en $\mathbb C^2$. Estudia su independencia sobre $\mathbb C$ y sobre $\mathbb R$.
En un modelo de señales $s(t)=a+bt+c\cos t$, demuestra que los tres parámetros se determinan de forma única a partir de la función completa.
En un modelo de señales $s(t)=a+bt+c\cos t$, demuestra que los tres parámetros se determinan de forma única a partir de la función completa.
Demuestra que, si $v_1,\ldots,v_n$ es una base y $w_j=v_1+\cdots+v_j$, entonces $w_1,\ldots,w_n$ también es una base.
Demuestra que, si $v_1,\ldots,v_n$ es una base y $w_j=v_1+\cdots+v_j$, entonces $w_1,\ldots,w_n$ también es una base.
Para $a\in\mathbb R$, determina la dimensión y una base de $U_a=\operatorname{span}\{(1,a,0),(0,1,a),(a,0,1)\}$.
Para $a\in\mathbb R$, determina la dimensión y una base de $U_a=\operatorname{span}\{(1,a,0),(0,1,a),(a,0,1)\}$.
Sea $V$ un espacio de dimensión $n\ge2$ y $v_1,\ldots,v_n$ una base. Determina para qué $a\in\mathbb R$ los vectores $w_j=v_j+a(v_1+\cdots+v_n)$ forman base.
Sea $V$ un espacio de dimensión $n\ge2$ y $v_1,\ldots,v_n$ una base. Determina para qué $a\in\mathbb R$ los vectores $w_j=v_j+a(v_1+\cdots+v_n)$ forman base.
Demuestra que los polinomios $1,x(x-1),x$ son base de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ y generaliza a $1,x,x(x-1),\ldots,x(x-1)\cdots(x-n+1)$ en $\mathcal P_n(\mathbb R)$.
Demuestra que los polinomios $1,x(x-1),x$ son base de $\mathcal P_2(\mathbb R)$ y generaliza a $1,x,x(x-1),\ldots,x(x-1)\cdots(x-n+1)$ en $\mathcal P_n(\mathbb R)$.
Sea $V$ un espacio complejo de dimensión $n$ con base $v_1,\ldots,v_n$. Demuestra que $v_1,iv_1,\ldots,v_n,iv_n$ es base del mismo conjunto visto como espacio real.
Sea $V$ un espacio complejo de dimensión $n$ con base $v_1,\ldots,v_n$. Demuestra que $v_1,iv_1,\ldots,v_n,iv_n$ es base del mismo conjunto visto como espacio real.
Una familia $S$ genera un espacio real de dimensión cinco y contiene siete vectores. Una subfamilia de tres de ellos es independiente. Demuestra que se puede extraer de…
Una familia $S$ genera un espacio real de dimensión cinco y contiene siete vectores. Una subfamilia de tres de ellos es independiente. Demuestra que se puede extraer de $S$ una base que contenga esos tres, e indica cuántos vectores hay que añadir.