Ejercicios: Producto escalar, normas y ángulos

En $\mathbb R^2$ con el producto escalar usual, calcula el producto, las normas y el ángulo entre $u=(3,1)$ y $v=(1,2)$.

Los vectores y el ángulo buscado se sitúan en el siguiente plano.

Normaliza el vector $v=(2,-1,2)$ de $\mathbb R^3$ y comprueba que el vector obtenido tiene norma euclídea $1$.

Determina $k\in\mathbb R$ para que $(2,k)$ y $(3,-2)$ sean ortogonales en el producto escalar usual.

Calcula el ángulo euclídeo entre $u=(1,1,0)$ y $v=(1,0,1)$.

Comprueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz para $u=(1,2)$ y $v=(2,4)$. Explica por qué se alcanza la igualdad.

En $\mathbb C^2$ usa $\langle u,v\rangle=\overline{u_1}v_1+\overline{u_2}v_2$. Calcula las normas de $u=(1,i)$, $v=(i,1)$ y decide si son ortogonales.

En $\mathbb R^2$ define $\langle u,v\rangle_G=2u_1v_1+u_2v_2$. Calcula el ángulo inducido por este producto entre $u=(1,0)$ y $v=(1,1)$, y compáralo con el ángulo euclídeo.

La curva representa los vectores de norma unidad para este producto escalar, que no es el habitual.

Demuestra que $\langle x,y\rangle=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}y$ define un producto escalar real y calcula el ángulo entre los vectores canónicos.

En $\mathbb R_1[x]$ usa $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1p(x)q(x)\,dx$. Calcula producto, normas y ángulo de $p=1+x$ y $q=1-x$. Puedes usar $\int_{-1}^1x\,dx=0$ y $\int_{-1}^1x^2\,dx=2/3$.

Con el producto escalar $\langle u,v\rangle=u_1v_1+4u_2v_2$, calcula la distancia entre $P=(1,2)$ y $Q=(3,-1)$. Explica por qué no coincide con su distancia euclídea.

Demuestra la identidad del paralelogramo $\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\|u\|^2+2\|v\|^2$ en un espacio real con producto escalar.

Halla una base de $W^\perp$ en $\mathbb R^3$ para $W=\langle(1,1,1),(1,-1,0)\rangle$, con producto usual.

En $\mathbb C^2$ define $\langle u,v\rangle=\overline{u_1}v_1+2\overline{u_2}v_2$. Para $u=(1,i)$, $v=(i,1)$, calcula $\langle u,v\rangle$, $\langle v,u\rangle$ y ambas normas. Verifica la simetría conjugada.

Dos señales centradas son $u=(-1,0,1)$ y $v=(-1,1,0)$. Su similitud se define por $s=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)$. Calcula $s$ y explica su interpretación angular.

Determina todos los $a\in\mathbb R$ para que $\langle x,y\rangle_a=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}y$ sea producto escalar en $\mathbb R^2$. Explica qué falla en los valores frontera.

Demuestra Cauchy-Schwarz en un espacio real a partir de $\|u-tv\|^2\ge0$ y caracteriza todos los casos de igualdad, incluidos los vectores nulos.

Demuestra que el producto escalar real se recupera de la norma mediante $\langle u,v\rangle=(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2)/4$. Úsalo si $\|u+v\|=5$ y $\|u-v\|=3$.

Prueba la desigualdad triangular para una norma inducida por producto escalar real y caracteriza la igualdad cuando $u,v$ son ambos no nulos.

Determina para qué $a,b\in\mathbb R$ la expresión $B(x,y)=x^{\mathsf T}\begin{pmatrix}2&a\\b&3\end{pmatrix}y$ es un producto escalar real. Justifica por separado la simetría y la positividad.

En un espacio complejo, con producto conjugado-lineal en el primer argumento, demuestra Cauchy-Schwarz usando $\|u-cv\|^2$ para un escalar complejo $c$ apropiado. Trata también $v=0$.